实数六大基本定理的相互证明

简介

翟老师的<泛函分析>课程带我重新认识了实数。实数中有一些基本定理，但具体有几个存在着很多不同的观点。本文以六大定理为准，这六大定理分别为

• 确界原理
• 单调有界原理
• Cantor闭区间套定理
• 致密性定理（聚点定理）
• Cauchy收敛准则
• 有限覆盖定理

本文对这六大定理之间进行了循环证明，共计30个证明，如有不正之处，可在评论区指出，我会及时进行修正。

实数六大基本定理

1. 确界原理

如果非空集合$A\subset R$有上（下）界，则$A$必有上（下）确界。

2. 单调有界原理

如果数列$\{a_n\}$单调增且有上界（单调减且有下界），则必有极限$a=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$。

3. Cantor闭区间套定理（闭集套定理的特殊形式）

如果一列闭区间$[a_n,b_n]$满足以下条件： $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(1)}& [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset [a_3,b_3]\supset ... \\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0\end{array} \end{gathered}$$ 则存在唯一 $\xi \in {\cap }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}[a_n,b_n]$。

4. （Bolzano-Weierstrass）致密性定理（$R^1$情形）

如果数列$\{a_n\}$有界（既有上界又有下界），则必存在收敛子数列，即有$\{a_{n_k}\}$，使得$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n_k}$存在。

致密性定理与聚点定理等价。聚点定理：直线上的有界无限点集至少有一个聚点。

5. Cauchy收敛准则（数列情形）

数列$\{a_n\}$有极限（收敛）的充分必要条件是： $$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\forall }ϵ>0\Rightarrow \mathrm{\exists }M\in N,\mathrm{使}\mathrm{得}n,m>M\mathrm{时}|a_n-a_m|<ϵ\end{array}$$

6. （Heine-Borel）有限覆盖定理（区间特殊情形）

如果一个有限闭区间$[a,b]$被一组开区间覆盖，则这组开区间中一定存在有限个开区间，它们也覆盖了闭区间$[a,b]$。即 $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(3)}& [a,b]\subset \underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\cup }(a_{\lambda },b_{\lambda })\Rightarrow \\ \mathrm{\exists }(a_i,b_i)\in \{(a_{\lambda },b_{\lambda })|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\},i=1,2,...n\mathrm{使}\mathrm{得}[a,b]\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}(a_i,b_i)\end{array} \end{gathered}$$

确界原理证明其余定理

确界原理证明单调有界原理

设数列$\{a_n\}$为单调递增序列且上有界（单调递减且下有界的证明类似）

由确界原理可知，数列$\{a_n\}$必有上确界，记上确界为$a=sup\{a_n\}$，接下来证明$a$即为数列$\{a_n\}$的极限。

对于$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$a_N\in \{a_n\}$使得$a-ϵ<a_N$，又因为数列$\{a_n\}$为单调递增序列，所以对于$n\ge N$都有： $$\begin{array}{}\text{(4)}& a-ϵ<a_N\le a_n<a<a+ϵ\end{array}$$ 因此，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$N$使得$n>N$时，$|a_n-a|<ϵ$，即$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$。

确界原理证明闭区间套定理

设闭区间$[a_n,b_n]$满足： $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(5)}& [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset [a_3,b_3]\supset ... \\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0\end{array} \end{gathered}$$ 首先证明存在性，即存在实数$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

设$S=\{a_n\}$，则集合$S$非空且有上界（任一$b_n$都是其上界），则集合$S$有上确界，记为$\xi =supS$。

接着，证明$\xi \in [a_n,b_n],\mathrm{\forall }n$。首先，$\xi$为集合$\{a_n\}$的上确界，则有$\xi \ge a_n,\mathrm{\forall }n$，又$b_n$为集合$\{a_n\}$的上界，由上确界的定义可得，$\xi \le b_n$，所以$a_n\le \xi \le b_n$，即$\xi \in [a_n,b_n],\mathrm{\forall }n$。由此，证明了存在性。

然后证明唯一性，采用反证法，假设存在${\xi }^{\prime }\ne \xi$且${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则$|{\xi }^{\prime }-\xi |\le |a_n-b_n|\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$。故${\xi }^{\prime }=\xi$，从而证明唯一性。

确界原理证明聚点定理

设$S$为一有界无限点集，由确界定理可得，$S$存在上确界和下确界，记为$\eta =supS,\xi =infS$，则若$\eta$和$\xi$中有一个不是孤立点，则显然为$S$的聚点。

否则构造集合$E=\{x|S\mathrm{中}\mathrm{仅}\mathrm{有}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{小}\mathrm{于}x\}$，令${\eta }^{\prime }=supE$，由$E$的定义可知，对于$$\mathrm{有}$'+E$，\mathrm{即}$'$\mathrm{和}$'+$\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{含}\mathrm{有}\mathrm{无}\mathrm{数}\mathrm{个}$S$\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{数}，\mathrm{则}$$，$('-,'+)$\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{多}\mathrm{个}$S$\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{数}，\mathrm{即}$'$\mathrm{为}$S$的一个聚点。

确界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{a_n\}$收敛且极限为$a$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得 $m,n>M$时 $$\begin{array}{}\text{(6)}& |a_m-a|<\frac{ϵ}{2},|a_n-a|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 由三角不等式可得： $$\begin{array}{}\text{(7)}& |a_m-a_n|\le |a_m-a|+|a_n-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{a_n\}$满足，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得$m,n>M$时，$|a_m-a_n|<ϵ$。

首先证明数列$\{a_n\}$有界。取$ϵ=1$，则$\mathrm{\exists }{N}_0$，使得$n>N_0$时有$|a_n-a_{N_0+1}|<1$，则$\mathrm{\forall }n>N_0,|a_n|\le |a_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{a_n\}$有界。

构造非空有界集合$S=\{a|(-\mathrm{\infty },a)\cap \{a_n\}\mathrm{为}\mathrm{空}\mathrm{或}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{项}\}$，则显然数列$\{a_n\}$的上确界$\eta$为集合$S$的上界，则集合$S$上确界存在设为${\eta }^{\prime }=supS$。

由$S$的定义以及上确界的定义可得，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$(-\mathrm{\infty },{\eta }^{\prime }-ϵ)$中最多含有限个$\{a_n\}$中的点，$(-\mathrm{\infty },{\eta }^{\prime }+ϵ)$中含无限多个$\{a_n\}$中的点，因此$({\eta }^{\prime }-ϵ,{\eta }^{\prime }+ϵ)$中含有无限多个$\{a_n\}$中的点。

$\mathrm{\forall }ϵ>0$，设$x_{n_k}\in ({\eta }^{\prime }-\frac{ϵ}{2},{\eta }^{\prime }+\frac{ϵ}{2})$，且$n_1<n_2<n_3<...$，$\mathrm{\exists }M\in N$ 使得 $n>max(M,n_1)$时，总有$n_k>max(M,n_1)$使得 $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(8)}& |a_n-a_{n_k}|<\frac{ϵ}{2} \\ |a_{n_k}-{\eta }^{\prime }|<\frac{ϵ}{2}\end{array} \end{gathered}$$ 则： $$\begin{array}{}\text{(9)}& |a_n-{\eta }^{\prime }|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-{\eta }^{\prime }|<ϵ\end{array}$$ 因此：$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n={\eta }^{\prime }$

确界原理证明有限覆盖定理

设集合$S=\{x|[a,x]\mathrm{能}\mathrm{被}H\mathrm{中}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{开}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{覆}\mathrm{盖}\}$。显然集合$S$有上界。取$(\alpha ,\beta )\in H$使得$a\in (\alpha ,\beta )$，则可以取$x\in (\alpha ,\beta )\mathrm{且}x>a$使得$[a,x]\subset (\alpha ,\beta )$，即$[a,x]$可以被H中有限个开区间覆盖，因此集合$S$不为空。

集合$S$有上界且集合$S$不为空，由确界定理可知，集合$S$上确界存在记为$\xi =supS$。

现证$\xi =b$，采用反证法，假设$\xi \ne b$，则$a<\xi <b$。由$H$覆盖区间$[a,b]$，则存在$({\alpha }_1，{\beta }_1)\in H$使得$\xi \in ({\alpha }_1,{\beta }_1)$，任取$x_1,x_2$使得${\alpha }_1<x_1<\xi <x_2<{\beta }_1$，则$x_1\in S$即区间$[a,x_1]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，通过给该有限覆盖添加区间$({\alpha }_1,{\beta }_1)$即可覆盖闭区间$[a,x_2]$，则$x_2\in S$，这与$\xi =supS$相悖，故原假设不成立，$\xi =b$，即闭区间$[a,b]$可以被H中有限个开区间覆盖。

单调有界原理证明其余定理

单调有界原理证明确界原理

设一非空数集$S$有上界，证明其有上确界（下确界证明类似）

取所有不小于$S$中任何一个数的实数构成数列$\{r_n\}$，令$\{x_n\}=min(r_1,r_2,...r_n)$，则数列$\{x_n\}$单调减且下有界（$S$中任意一个数都是其下界）。则数列$\{x_n\}$极限存在记$\xi =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$。

现证$\xi$为集合$S$的上确界。采用反证法

首先证明$\xi$为集合$S$的上界，假设$\mathrm{\exists }a\in S$使得$a>\xi$，取$ϵ=\frac{a-\xi }{2}$则数列$\{r_n\}$存在$r_N$使得 $$\begin{array}{}\text{(10)}& \xi \le r_N<\xi +ϵ=\frac{a+\xi }{2}<\frac{a+a}{2}=a\end{array}$$ 故$r_N<a$，这与$r_N$为集合$S$的上界矛盾，故假设不成立，$\xi$为集合$S$的上界。

然后证明$\xi$为集合$S$的上确界，假设存在$ϵ$使得$\mathrm{\forall }a\in S,a<\xi -ϵ$，则数列$\{r_n\}$中存在$r_N$使得 $$\begin{array}{}\text{(11)}& x<\xi -ϵ\le r_N<\xi \end{array}$$ 又由$\xi$的定义可知，$\xi \le r_N$，两者矛盾，故不存在这样的$ϵ$，$\xi$为集合$S$的上确界。故集合$S$的上确界存在。

单调有界原理证明闭区间套定理

设闭区间$[a_n,b_n]$满足： $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(12)}& [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset [a_3,b_3]\supset ... \\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0\end{array} \end{gathered}$$ 首先证明存在性，即存在实数$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

由闭区间套的条件可知，数列$\{a_n\}$单调增且上有界，则根据单调有界原理，数列$\{a_n\}$极限存在记为$\xi$，且有$a_n\le \xi$，

同理，数列$\{b_n\}$单调减且下有界，则数列$\{b_n\}$极限存在，又$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$，则 $$\begin{array}{}\text{(13)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\xi \end{array}$$ 且由闭区间套的条件可知，$\xi \le b_n$。综上可得，存在实数$\xi$使得$a_n\le \xi \le b_n$，即$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

然后证明唯一性，采用反证法，假设存在${\xi }^{\prime }\ne \xi$且${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则$|{\xi }^{\prime }-\xi |\le |a_n-b_n|\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$。故${\xi }^{\prime }=\xi$，从而证明唯一性。

单调有界原理证明聚点定理

对于有界数列$\{a_n\}$

若在任一项之后，总存在最大的项。由此构造子列$\{a_{n_k}\}$。

设$a_1$后所有项的最大项为$a_{n_1}$，$a_2$后所有项的最大项为$a_{n_2}$，$a_k$后所有项的最大项为$a_{n_k}$根据该定义，则有$a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$，故数列$\{a_{n_k}\}$单调递减且下有界（$\{a_n\}$有界）。因此，根据单调有界原理，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在。

若在任一项后，不存在最大的项，则取$a_{n_1}=a_1$，由于不存在最大的项，因此$\{a_n\}$中必存在$a_{n_2}>a_{n_1}$，以此类推，可得到$a_{n_3},...a_{n_k},...$，从而可以得到一个单调递增的有界数列$\{a_{n_k}\}$，由单调有界定理可知，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在。

综上所述，在两种情况下，数列$\{a_n\}$中均存在收敛子列$\{a_{n_k}\}$，致密性定理得证。

单调有界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{a_n\}$收敛且极限为$a$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得 $m,n>M$时 $$\begin{array}{}\text{(14)}& |a_m-a|<\frac{ϵ}{2},|a_n-a|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 由三角不等式可得： $$\begin{array}{}\text{(15)}& |a_m-a_n|\le |a_m-a|+|a_n-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{a_n\}$满足，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得$m,n>M$时，$|a_m-a_n|<ϵ$。

首先证明数列$\{a_n\}$有界。取$ϵ=1$，则$\mathrm{\exists }{N}_0$，使得$n>N_0$时有$|a_n-a_{N_0+1}|<1$，则$\mathrm{\forall }n>N_0,|a_n|\le |a_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{a_n\}$有界。

不妨设$a_n\in [a,b]$，采用如下过程构造子列$\{a_{n_k}\}$：

1. 在$[a,b]$中取$a_{n_1}\in \{a_n\}$使得$(a_{n_1},b]$中含数列$\{a_n\}$中无穷多项
2. 在$(a_{n_k},b]$中取$a_{n_{k+1}}$使得$n_{k+1}>n_k$且$(a_{k+1},b]$中含数列$\{a_n\}$中无穷多项，则$a_{n_k}<a_{n_{k+1}}$

重复步骤2即可得到$\{a_n\}$的单调递增子列$\{a_{n_k}\}$。由单调有界原理可知，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在记$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n_k}=a$。

然后证数列$\{a_n\}$的极限为$a$，由极限的定义和柯西列的定义可知，$\mathrm{\forall }ϵ$，存在$M_1,M_2\in N$，使得： $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(16)}& n_k>M_1\mathrm{时},|a_{n_k}-a|<\frac{ϵ}{2} \\ n,n_k>M_2\mathrm{时},|a_n-a_{n_k}|<\frac{ϵ}{2}\end{array} \end{gathered}$$ 则$n,n_k>max(M_1,M_2)$时，有$|a_n-a|<|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<ϵ$，数列$\{a_n\}$收敛到$a$。

单调有界原理证明有限覆盖定理

设有理数$r\in (a,b]$使得区间$[a,r]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，将这样的$r$排成一个数列记为$\{r_n\}$。由于存在开区间$(\alpha ,\beta )\in H$使得$a\in (\alpha ,\beta )$，取$r_n>a\mathrm{且}{r}_n\in (\alpha ,\beta )$，则这样的区间一定可以被$H$中有限个开区间覆盖，故数列$\{r_n\}$存在。

取$x_n=max(r_1,r_2,...,r_n)$，则数列$\{x_n\}$单调递增，又$\mathrm{\forall }n,r_n\le b$，故$x_n\le b$。由单调有界原理可知，数列$\{x_n\}$极限存在记$\xi =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$，且$r_n\le x_n\le \xi$。

由于$x_n\in [a,b]$，即$b$为数列$\{x_n\}$的一个上界，则$\xi \le b$，又$a\le x_n\le \xi$，则有$a\le \xi \le b$，即$\xi \in [a,b]$，故$\xi$一定存在于$H$中的某个开区间$({\alpha }_1,{\beta }_1)$中，再由极限的定义可知，存在$r_N\in \{r_n\}$使得${\alpha }_1<r_N\le \xi$。

由数列$\{r_n\}$的定义可知，$[a,r_N]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，那么给这个开区间覆盖添加开区间$({\alpha }_1,{\beta }_1)$即可以覆盖闭区间$[a,\xi ]$，因此，闭区间$[a,\xi ]$可以被$H$中有限个开区间覆盖。

现证$\xi =b$，采用反正法，假设$\xi \ne b$，则$a<\xi <b$。则一定存在有理数$r^{\prime }$使得$\xi <r^{\prime }<min(b,{\beta }_1)$，则区间$[a,r^{\prime }]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，故$r^{\prime }\in \{r_n\}$，$r^{\prime }\le \xi$，与$\xi <r^{\prime }$矛盾，故假设不成立，因此，$\xi =b$。综上，即可得出结论，闭区间$[a,b]$可以被$H$中有限个开区间覆盖。

闭区间套定理证明其余定理

闭区间套定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界（下确界同理可证）。

设集合$S$有上界，设一数$\xi$为集合$S$的上确界，则$\xi$满足：

1. 大于$\xi$的点均不在$S$中
2. $\xi$的任意小邻域中存在集合$S$的点

如果$\xi$落在闭区间$[a,b]$中的充要条件为：

1. 任何大于$b$的点均不在$S$中
2. $[a,b]$中至少包含一个$S$中的点

对$[a,b]$区间进行等分为两个区间，则两个子区间中必有一个区间$[a_1,b_1]$符合上述条件。即$\xi$在区间$[a_1,b_1]$中。重复以上等分的过程，即可得到一系列闭区间满足： $$\begin{array}{}\text{(17)}& [a,b]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset ...\end{array}$$ 并且有 $$\begin{array}{}\text{(18)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2^n}(b-a)=0\end{array}$$ $\xi$属于上述所有$[a_n,b_n]$，由区间套定理可得，存为唯一$\xi$使得 $a_n\le \xi \le b_n$。并且 $$\begin{array}{}\text{(19)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\xi \end{array}$$

$\mathrm{\forall }x\in S$，都有$x\le b_n$，则$x\le \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\xi$。

$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$a_M>\xi -ϵ$，又区间$[a_n,b_n]$中至少包含一个$S$中的点，则$\mathrm{\exists }x\in S\cap [a_M,b_M]$使得$x\ge a_M>\xi -ϵ$。从而，$\xi$是集合$S$的上确界，$S$的上确界存在，确界定理得证。

闭区间套定理证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$单调上有界（单调下有界证明类似），则任取其上界记为$b$，在$\{x_n\}$中任取一项作为$a$，则区间$[a,b]$中必含有数列$\{x_n\}$中无穷多项。

将区间$[a,b]$进行二等分，得到区间$[a,\frac{a+b}{2}]$和区间$[\frac{a+b}{2},b]$，由于数列$\{x_n\}$单调递增，则两个子区间中有且仅有一个区间包含数列$\{x_n\}$中无穷多项，记该区间为$[a_1,b_1]$。

重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，由区间套定理可知，存在唯一实数$\xi$使得$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$。

然后证明$\xi =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$，由于$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }{M}_1\in N$使得$n>M_1$时，$|a_n-b_n|<ϵ$，由区间$[a_n,b_n]$的构造性质可得，$[a_n,b_n]$中含数列$\{x_n\}$中无穷多项，则$\mathrm{\exists }{M}_2\in N$使得$n>M_2$时，$x_n\in [a_n,b_n]$，又由于$a_n\le \xi \le b_n$，取$M=max(M_1,M_2)$，则当$n>M$时，$|x_n-\xi |\le |a_n-b_n|<ϵ$，故$\xi$为数列$\{x_n\}$的极限。

闭区间套定理证明聚点定理

数列$\{x_n\}$有界，取$a,b$使得$a\le x_n\le b$，则闭区间$[a,b]$中包含了数列$\{x_n\}$中无穷多项。

将闭区间$[a,b]$等分为两个子闭区间，则两个闭区间中至少有一个包含$\{x_n\}$中无穷多项，记为$[a_1,b_1]$，重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$

由区间套定理可知，存在唯一$\xi$使得$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$，即 $$\begin{array}{}\text{(20)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\xi \end{array}$$ 则，$\mathrm{\exists }{n}_1$，使得$\xi -1<a_{n_1}\le \xi \le b_{n_1}<\xi +1$，由于$[a_{n_1},b_{n_1}]$中含有数列$\{x_n\}$中无穷多项，因此任取$x_{n_1}\in \{x_n\}\cap [a_{n_1},b_{n_1}]$。

同理，$\mathrm{\forall }k=1,2,3,...$，$\mathrm{\exists }{n}_k$使得$\xi -\frac{1}{k}<a_{n_k}\le \xi \le b_{n_k}<\xi +\frac{1}{k}$，取$x_{n_k}\in \{x_n\}\cap [a_{n_k},b_{n_k}]$。由此构造出数列$\{x_{n_k}\}$。

由$\{x_{n_k}\}$的构造过程可知，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M=\lceil \frac{1}{ϵ}\rceil$使得$k>M$时，$|x_{n_k}-\xi |<ϵ$，故$\xi$是数列$\{x_{n_k}\}$的极限。

因此，有界无限数列存在收敛子列，致密性定理得证。

闭区间套定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{x_n\}$收敛且极限为$x$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得 $m,n>M$时 $$\begin{array}{}\text{(21)}& |x_m-x|<\frac{ϵ}{2},|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 由三角不等式可得： $$\begin{array}{}\text{(22)}& |x_m-x_n|\le |x_m-x|+|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得$n>M$时，$|x_n-x_M|<ϵ$。即$x_n\in [x_M-ϵ,x_M+ϵ]$。

取$ϵ=\frac{1}{2}$，则$\mathrm{\exists }{M}_1\in N$使得$n>M_1$时，$x_n\in [x_{M_1}-ϵ,x_{M_1}+ϵ]$，记该区间为$[a_1,b_1]$，

取$ϵ=\frac{1}{2^2}$，则$\mathrm{\exists }{M}_2\in N$使得$n>M_2$时，$x_n\in [x_{M_2}-ϵ,x_{M_2}+ϵ]$，记该区间为$[a_2,b_2]$，

取$ϵ=\frac{1}{2^3}$，则$\mathrm{\exists }{M}_3\in N$使得$n>M_3$时，$x_n\in [x_{M_3}-ϵ,x_{M_3}+ϵ]$，记该区间为$[a_3,b_3]$，

以此类推，便能得到一系列闭区间$[a_n,b_n]$且$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$。由闭区间套定理可知，存在唯一$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$，从而，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$n>M$时，$x_n$均属于某个闭区间$[a_n,b_n]$且$|b_n-a_n|<ϵ$，则$|x_n-\xi |<ϵ$，因此$x_n\to \xi (n\to +\mathrm{\infty })$。

闭区间套定理证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖

采用反证法。假设闭区间$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖，则对$[a,b]$进行等分，则两个子区间中至少存在一个闭区间不能被$H$中有限个开区间覆盖（否则与$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖矛盾），记该区间为$[a_1,b_1]$。以此类推得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，并且每个闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖。

由闭区间套定理可知，$\mathrm{\exists }\xi$使得$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3...$，则$H$中存在开覆盖$(\alpha ,\beta )$使得$\xi \in (\alpha ,\beta )$，设$ϵ=min(|\alpha -\xi |,|\beta -ϵ|)$，由于$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$，则$\mathrm{\exists }M\in N$，使得$n>M$后都有$|b_n-a_n|<ϵ$，又$\xi \in [a_n,b_n]$，则$[a_n,b_n]\subset (\alpha ,\beta )$，即区间$[a_n,b_n]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，与闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

聚点定理证明其余定理

聚点定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界（下确界同理可证）。

设集合$S$有上界，则任取其上界记为$b$，取$a\in S$构造区间$[a,b]$中至少含有集合$S$中一项。定义性质$P$：区间中至少含有集合$S$中一项且区间的右端点必为$S$的一个上界。则显然区间$[a,b]$满足性质$P$

将区间$[a,b]$进行二等分，得到区间$[a,\frac{a+b}{2}]$和区间$[\frac{a+b}{2},b]$，则两个子区间中至少有一个区间满足性质$P$，记该区间为$[a_1,b_1]$。重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$

从而有$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2^n}(b-a)=0$

构造数列$\{b_n\}$，显然数列$\{b_n\}$有无穷多项且有界（$a\le b_n\le b$）。由聚点定理可知，$\{b_n\}$有聚点记作$\xi$。又因为数列$\{b_n\}$单调递减，则$\mathrm{\forall }ϵ$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$b_n\in U(\xi ,ϵ)$，即$\xi$为数列$\{b_n\}$的极限。由$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$可得，数列$\{a_n\}$的极限也为$\xi$。

由于$\{b_n\}$均为$S$的上界，因此$\xi$也为$S$的上界。又$a_n\to \xi$且$[a_n,b_n]\cap S\ne \varnothing$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$n>M$时使得$a_n$，$\mathrm{\exists }x\in S$使得$x\in [a_n,b_n]$且$\xi -ϵ<x\le \xi$，故$\xi$为集合$S$的上确界。

聚点定理证明单调有界原理

任取单调有界数列$\{a_n\}$，不妨设数列$\{a_n\}$单调递增（单调递减的证明类似）。则由致密性定理（聚点定理）可知，$\{a_n\}$中存在聚点记为$a$。

根据聚点的定义，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$M\in N$使得$|a_M-a|<ϵ$，假设存在$n_1>M$使得$|a_{n_1}-a|>ϵ$，则$a_{n_1}>a+ϵ$或$a_{n_1}<a-ϵ$，由数列单调性可知，后者显然不成立。

若前者成立，即$a_{n_1}>a+ϵ$，则根据单调性，任取$n>n_1$都有$a_n>a+ϵ$，则$a$的$ϵ$邻域中只含有限项，这与$a$是$\{a_n\}$的聚点矛盾，故原假设不成立。因此，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$M\in N$使得$n>M$时，$|a_n-a|<ϵ$，故数列$\{a_n\}$极限存在。

聚点定理证明闭区间套定理

$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套，令$S=\{a_n\}\cup \{b_n\}$，则集合$S$有界无限，根据聚点定理，集合$S$存在聚点$\xi$。接着证明$a_n\le \xi \le b_n$，采用反证法。

假设存在$a_M$使得$b_n>a_M>\xi$，则由数列$\{a_n\}$的单调性可知，$n>M$时，$a_n>a_M>\xi$。取$ϵ=a_M-\xi$，则在$(\xi -ϵ,\xi +ϵ)$中，至多有有限$S$中的点，这与$\xi$是$S$的聚点相矛盾，因此$a_n\le \xi$，同理可证$\xi \le b_n$。从而有$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

然后证明唯一性，采用反证法，假设存在${\xi }^{\prime }\ne \xi$且${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则$|{\xi }^{\prime }-\xi |\le |a_n-b_n|\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$。故${\xi }^{\prime }=\xi$，从而证明唯一性。

聚点定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{x_n\}$收敛且极限为$x$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得 $m,n>M$时 $$\begin{array}{}\text{(23)}& |x_m-x|<\frac{ϵ}{2},|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 由三角不等式可得： $$\begin{array}{}\text{(24)}& |x_m-x_n|\le |x_m-x|+|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得$m,n>M$时，$|x_m-x_n|<ϵ$。

首先证明数列$\{x_n\}$有界。取$ϵ=1$，则$\mathrm{\exists }{N}_0$，使得$n>N_0$时有$|x_n-x_{N_0+1}|<1$，则$\mathrm{\forall }n>N_0,|x_n|\le |x_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{x_n\}$有界。

接着对$\{x_n\}$进行分类讨论：

若$\{x_n\}$中含有有限个相异的项，那么必然会有一项出现无限多次记作$x_{n_0}$，这时就可以得到$\{x_n\}$的一个子列$\{x_{n_k}\}$满足$x_{n_k}=x_{n_0}$且$n_{k+1}>n_k$。又$\{x_n\}$为Cauchy列，故$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$m,n>M$时，有$|x_m-x_n|<ϵ$。特别的，当$n>M,k>M$时，有$n_k\ge n>M$，则$|x_n-x_{n_k}|<ϵ$，即$|x_n-x_{n_0}|<ϵ|$，因此，$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_{n_0}$。

若$\{x_n\}$含有无穷多相异的项，则数集$S=\{x_n\}$为有界无限点集，根据聚点定理，$S$中至少有一聚点$\xi$，根据聚点的定义$\mathrm{\forall }k$，在$U(\xi ,\frac{1}{k})$中必包含$\{x_n\}$中无穷多项，从而在$U(\xi ,\frac{1}{k}),k=1,2,3,...$中可任选出$x_{n_k}$组成子列$\{x_{n_k}\}$，则$x_{n_k}\to \xi (k\to +\mathrm{\infty })$，同上一部分的证明可知，$x_n\to \xi (n\to +\mathrm{\infty })$

聚点定理证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖

采用反证法。假设闭区间$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖，则对$[a,b]$进行等分，则两个子区间中至少存在一个闭区间不能被$H$中有限个开区间覆盖（否则与$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖矛盾），记该区间为$[a_1,b_1]$。以此类推得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，并且每个闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖。

令$S=\{a_n\}\cup \{b_n\}$，则集合$S$有界无限，根据聚点定理，集合$S$存在聚点$\xi$。接着证明$a_n\le \xi \le b_n$，采用反证法。

假设存在$a_M$使得$b_n>a_M>\xi$，则由数列$\{a_n\}$的单调性可知，$n>M$时，$a_n>a_M>\xi$。取$ϵ=a_M-\xi$，则在$(\xi -ϵ,\xi +ϵ)$中，至多有有限$S$中的点，这与$\xi$是$S$的聚点相矛盾，因此$a_n\le \xi$，同理可证$\xi \le b_n$。从而$a_n\le \xi \le b_n,n=1,2,3,...$

又$[a_n,b_n]\subset [a,b]$，故$\xi \in [a,b]$，因此$\xi$必然属于$H$中的某个开区间$(\alpha ,\beta )$设$ϵ=min(|\alpha -\xi |,|\beta -ϵ|)$，由于$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)$，则$\mathrm{\exists }M\in N$，使得$n>M$后都有$|b_n-a_n|<ϵ$，又$\xi \in [a_n,b_n]$，则$[a_n,b_n]\subset (\alpha ,\beta )$，即区间$[a_n,b_n]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，与闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

Cauchy收敛准则证明其余定理

Cauchy收敛准则证明确界原理

设$S$为非空有上界数集（非空有下界证明类似），由实数的阿基米德性，对于任意实数$a$，存在整数$K_a$使得${\lambda }_a=K_{a}a$为数集$S$的上界，而${\lambda }_a-a=(K_a-1)a$不为数集$S$的上界。即$\mathrm{\exists }{x}_0\in S$使得$x_0>{\lambda }_a-a$。

取$a=\frac{1}{n},n=1,2,3,...$，则对于每个正整数$n$，都存在对应的${\lambda }_n$使得${\lambda }_n$为数集的上界，而$\mathrm{\exists }{x}_0\in S$，使得$x_0>{\lambda }_n-\frac{1}{n}$。

对于实数$m$则有${\lambda }_m$为数集$S$的上界，故${\lambda }_m\ge x_0>{\lambda }_n-\frac{1}{n}$，则${\lambda }_n-{\lambda }_m<\frac{1}{n}$。同理可得，${\lambda }_m-{\lambda }_n<\frac{1}{m}$。从而$|{\lambda }_m-{\lambda }_n|<max(\frac{1}{n},\frac{1}{m})$。

于是，$>0 $，$MN$\mathrm{使}\mathrm{得}$m,n>N$\mathrm{时}，$|_m-_n|<$。\mathrm{故}\mathrm{数}\mathrm{列}${_n}$\mathrm{为}\mathrm{柯}\mathrm{西}\mathrm{列}，\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{记}\mathrm{为}$$。

然后证明$\lambda$为数集$S$的上确界。首先，$\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }a\in S,a\le {\lambda }_n$，又$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }_n=\lambda$，故$a\le \lambda$，$\lambda$为数集$S$的一个上界。又$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$n>M$时，$\lambda -{\lambda }_n<\frac{ϵ}{2}$且$\frac{1}{n}<\frac{ϵ}{2}$,则 $$\begin{array}{}\text{(25)}& \lambda -ϵ<{\lambda }_n-\frac{ϵ}{2}<{\lambda }_n-\frac{1}{n}\end{array}$$ 又$\mathrm{\forall }n,\mathrm{\exists }{x}_0\in S$使得$x_0>{\lambda }_n-\frac{1}{n}$，故$x_0>\lambda -ϵ$，因此$\lambda$为数集$S$的上确界。

Cauchy收敛准则证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$为单调增有上界，采用反证法，假设数列$\{x_n\}$极限不存在，则根据Cauchy收敛准则，$\mathrm{\exists }{ϵ}_0$，使得$\mathrm{\forall }M\in N$，$\mathrm{\exists }m>n>M$使得$x_m-x_n>{ϵ}_0$。任取$M$，则可以得到数列$\{x_n\}$的一个子列$\{x_{n_k}\}$使得$x_{n_{k+1}}>x_{n_k}+{ϵ}_0>...>x_{n_1}+k{ϵ}_0$，则$x_{n_k}\to +\mathrm{\infty }(k\to +\mathrm{\infty })$，故数列$\{x_n\}$无解，与$\{x_n\}$上有界矛盾，故假设不成立，数列$\{x_n\}$极限存在。

Cauchy收敛准则证明闭区间套定理

设$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套，则由$(b_n-a_n)\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$可知，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$n>M$时，$|b_n-a_n|<ϵ$。

由于数列$\{a_n\}$单调递增，数列$\{b_n\}$单调递减，且$b_n>a_n$，故对于$\mathrm{\forall }m>n>M$都有 $$\begin{array}{}\text{(26)}& a_n\le a_m\le b_m\le b_n\end{array}$$ 则$|a_m-a_n|\le |b_n-a_n|<ϵ$，$|b_m-b_n|\le |b_n-a_n|<ϵ$。

由Cauchy收敛准则可知，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$极限存在，又$(b_n-a_n)\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$，则 $$\begin{array}{}\text{(27)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\xi \end{array}$$ 接着证明$a_n\le \xi \le b_n$，采用反证法。

假设存在$a_M$使得$a_M>\xi$，则由数列$\{a_n\}$的单调性可知，$n>M$时，$a_n>a_M>\xi$。因此$|a_n-\xi |=a_n-\xi >0$，两侧取极限得$$

然后证明唯一性，采用反证法，假设存在${\xi }^{\prime }\ne \xi$且${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$，则$|{\xi }^{\prime }-\xi |\le |a_n-b_n|\to 0(n\to +\mathrm{\infty })$。故${\xi }^{\prime }=\xi$，从而证明唯一性。

Cauchy收敛准则证明聚点定理

设$S$为有界无限点集

取$a$为$S$的一个下界，则对于任意自然数$n$，存在自然数$k_n$使得$x_n=a+\frac{k_n}{n}$满足以下性质：

1. $(x_n,+\mathrm{\infty })$中至多包含$S$中有限个点
2. $(x_n-\frac{1}{n},+\mathrm{\infty })$中包含$S$中无限个点

则对于任意自然数$m,n$，都有$x_n-\frac{1}{n}<x_m$，否则若$x_m\le x_n-\frac{1}{n}$，则$(x_m,+\mathrm{\infty })$中含有$S$中无限个点，与上述性质矛盾。因此$|x_m-x_n|<max(\frac{1}{n},\frac{1}{m})$，则$\{x_n\}$为柯西列，极限存在记为$\xi$。 $$\begin{array}{}\text{(28)}& \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x_n-\frac{1}{n})=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n-\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=\xi \end{array}$$ 因此，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }M\in N$使得$n>M$时，$x_n,x_n-\frac{1}{n}\in (\xi -ϵ,\xi +ϵ)$。则$(x_n-\frac{1}{n},+\mathrm{\infty })\subset (\xi -ϵ,+\mathrm{\infty })$，$(\xi +ϵ,+\mathrm{\infty })\subset (x_n,+\mathrm{\infty })$。因此$(\xi -ϵ)$中含有$S$中无限个点，$(\xi +ϵ,+\mathrm{\infty })$中至多含有$S$中有限个点，从而$(\xi -ϵ,\xi +ϵ)$中含有$S$中无限个点，故$\xi$为$S$的聚点，故聚点定理得证。

Cauchy收敛准则证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖。

设性质$P$：闭区间可以被$H$中有限个开区间覆盖，性质$P^{-1}$：闭区间不能被$H$中有限个开区间覆盖。

采用反证法，假设$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖，则$\mathrm{\exists }{x}_1\in [a,b]$使得$[x_1-1,x_1+1]\cap [a,b]=[a_1,b_1]$具有性质$P^{-1}$，否则$[a,b]$具有性质$P$。

同理，$\mathrm{\exists }{x}_2\in [a_1,b_1]$使得$[x_2-\frac{1}{2},x_2+\frac{1}{2}]$具有性质$P^{-1}$，重复以上过程即可得到数列$\{x_n\}$，使得$[a_n,b_n]=[x_n-\frac{1}{n},x_n+\frac{1}{n}]\cap [a,b]$具有性质$P^{-1}$。并且对于$\mathrm{\forall }m,n$，有$|x_m-x_n|\le max(\frac{1}{m},\frac{1}{n})$。因此，数列$\{x_n\}$为Cauchy列，极限存在记为$\xi$。

显然，$\xi \in [a,b]$，则存在开区间$(\alpha ,\beta )\in H$使得$\xi \in (\alpha ,\beta )$，又$x_n\to \xi (n\to +\mathrm{\infty })$，则$\mathrm{\exists }M\in N$使得$[x_M-\frac{1}{M},x_M+\frac{1}{M}]\subset (\alpha ,\beta )$，这与$[x_M-\frac{1}{M},x_M+\frac{1}{M}]$具有性质$P^{-1}$相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

有限覆盖定理证明其余定理

有限覆盖定理证明确界原理

设$S$为非空上有界数集（非空下有界的证明类似），若$S$中存在最大值，则易证上确界为最大值。若$S$中无最大值，采用反证法，假设$\xi =supS$不存在，设$a$为$S$中任意一点，$b$为$S$的任意一个上界。下面作区间$[a,b]$的无限开覆盖，对任意$x\in [a,b]$，存在以下三种情形：

1. 若$x\in S$，由于$S$中没有最大值，则存在$x_1>x$，取$\delta =x_1-x$得到$x$的邻域$(x-\delta ,x+\delta )$
2. 若$x\notin S$且$x$不是$S$的上界，则同样存在$x_1>x$，取$\delta =x_1-x$得到$x$的邻域$(x-\delta ,x+\delta )$
3. 若$x$为$S$的上界，由于$S$没有上确界，则存在$\delta$使得$(x-\delta ,x+\delta )$中不存在$S$中任何一点。

上述所有的开区间组成闭区间$[a,b]$的一个无限开覆盖： $$\begin{array}{}\text{(29)}& H=\{(x-{\delta }_x,x+{\delta }_x)|x\in [a,b]\}\end{array}$$ 由有限覆盖定理可得，$[a,b]$存在一个有限开覆盖$H_1$： $$\begin{array}{}\text{(30)}& H_1=\{(x_k-{\delta }_k,x_k+{\delta }_k)|x_k\in [a,b],k=1,2,3,...\}\end{array}$$ 设满足情形3的开区间为第一类开区间，否则为第二类开区间。显然，$a$在第二类开区间中，$b$在第一类开区间中，若$H_1$可以有限覆盖$[a,b]$，则第一类开区间和第二类开区间之间必有交集，而根据两类开区间的定义，第一类开区间和第二类开区间之间不存在交集，故假设不成立，$S$的上确界$\xi =supS$存在。故确界定理得证。

有限覆盖定理证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$单调增上有界（单调减下有界的证明类似），若$\{x_n\}$中存在最大值，则易证数列$\{x_n\}$极限存在。若$\{x_n\}$中无最大值，采用反证法，假设数列$\{x_n\}$极限不存在。取$\{x_n\}$二的任意上界$M$和任意自然数$n_0$，则显然$x_{n_0}<M$，下面作闭区间$[x_{n_0},M]$的无限开覆盖，设$x\in [x_{n_0},M]$，则存在以下三种情形：

1. 若$x=x_{n_1}$，由于$\{x_n\}$中没有最大值，则可以找到$x_{n_2}>x_{n_1}$，取$\delta =x_{n_2}-x_{n_1}$，得到$x$的邻域$(x-\delta ,x+\delta )$
2. 若$x\notin \{x_n\}$且$x$不是$\{x_n\}$的上界，则同样存在$x_{n_2}>x$，取$\delta =x_{n_2}-x$，得到$x$的邻域$(x-\delta ,x+\delta )$
3. 若$x$为$\{x_n\}$的上界，由于$\{x_n\}$的极限不存在，故一定存在$\delta$使得$(x-\delta ,x+\delta )$中不含任何$\{x_n\}$中的项。

上述的所有开区间组成闭区间$[x_{n_0},M]$的一个开覆盖$H$。由有限覆盖定理可知，存在一个有限开覆盖$H_1$可以覆盖区间$[x_{n_0},M]$，即$H_1=\{(x_i-{\delta }_i,x_i+{\delta }_i)|i=1,2,3,...\}$。

可以将这些开区间分为两类，第一类满足上述情形3，第二类不满足。则显然$M$在第一类的开区间中，$x_{n_0}$在第二类的开区间中。若这些开区间可以将闭区间$[x_{n_0},M]$有限覆盖，则第一类开区间和第二类开区间必然存在交集。而显然，第一类开区间与第二类开区间之间不存在交集。因此假设不成立，数列$\{x_n\}$极限存在。

有限覆盖定理证明闭区间套定理

设$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套。采用反证法，假设闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$中不存在公共点$\xi$，从而，$\mathrm{\forall }x\in [a_1,b_1]$，总存在${\delta }_x$使得$(x-{\delta }_x,x+{\delta }_x)$不与所有的$[a_n,b_n]$相交，即存在$[a_{n_x},b_{n_x}]$使得$(x-{\delta }_x,x+{\delta }_x)\cap [a_{n_x},b_{n_x}]=\varnothing$。则这些$x$的邻域构成区间$[a_1,b_1]$中的一个开覆盖记作： $$\begin{array}{}\text{(31)}& H=\{(x-{\delta }_x,x+{\delta }_x)|x\in [a_1,b_1]\}\end{array}$$ 由有限覆盖定理可知，$H$中存在$[a_1,b_1]$的一个有限子覆盖记为： $$\begin{array}{}\text{(32)}& H_1=\{(x_k-{\delta }_{x_k},x_k+{\delta }_{x_k})|x_k\in [a_1,b_1],k=1,2,3,...\}\end{array}$$ 相应的，$(x_k-{\delta }_{x_k},x_k+{\delta }_{x_k})\cap [a_{n_k},b_{n_k}]=\varnothing$。根据区间套的条件，在$[a_{n_k},b_{n_k}]$中找到最小的一个闭区间记作$[a_{n_0},b_{n_0}]$。则$[a_{n_0},b_{n_0}]\cap (x_k-{\delta }_{x_k},x_k+{\delta }_{x_k})=\varnothing ,k=1,2,3,...$，这与$[a_{n_0},b_{n_0}]\subset [a_1,b_1]$矛盾，故假设不成立，闭区间套定理得证。

有限覆盖定理证明聚点定理

设$S$为有界无穷点集，则存在$M$，使得$S\subset [-M,+M]$。由于闭区间的聚点都包含在闭区间中，故若$S$存在聚点，则一定包含在$[-M,+M]$中。

采用反证法，假设$S$无聚点，即$[-M,+M]$中任意一点都不是$S$的聚点，则对于$\mathrm{\forall }x\in [-M,+M]$，存在相应的${\delta }_x$使得$U(x,{\delta }_x)$中至多含有限个$S$中的点。这些$x$的邻域形成区间$[-M,+M]$的一个无限开覆盖： $$\begin{array}{}\text{(33)}& H=\{U(x,{\delta }_x)|x\in [-M，+M]\}\end{array}$$ 由有限覆盖定理可知，$H$中存在$[-M,+M]$的一个有限子覆盖记为： $$\begin{array}{}\text{(34)}& H_1=\{U(x_i,{\delta }_{x_i}|x_i\in [-M,+M],i=1,2,3,...\}\end{array}$$ 则在$H_1$中，至多含有限个$S$中的点，这与$\cup H_1\supset [-M,+M]\supset S$矛盾，故假设不成立，聚点定理得证。

有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{x_n\}$收敛且极限为$x$，则$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得 $m,n>M$时 $$\begin{array}{}\text{(35)}& |x_m-x|<\frac{ϵ}{2},|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}\end{array}$$ 由三角不等式可得： $$\begin{array}{}\text{(36)}& |x_m-x_n|\le |x_m-x|+|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }M\in N$，使得$m,n>M$时，$|x_m-x_n|<ϵ$。

首先证明数列$\{x_n\}$有界。取$ϵ=1$，则$\mathrm{\exists }{N}_0$，使得$n>N_0$时有$|x_n-x_{N_0+1}|<1$，则$\mathrm{\forall }n>N_0,|x_n|\le |x_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{x_n\}$有界。则存在闭区间$[a,b]$使得$x_n\in [a,b]$

采用反证法，假设数列$\{x_n\}$不收敛。则$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，$\mathrm{\exists }U(x,\delta )$中至多含有$\{x_n\}$有限多项（否则易证$x$为$\{x_n\}$的极限）。

设$[a,b]$的一个开覆盖为$H=\{U(x,\delta )|x\in [a,b]\}$,则该开覆盖存在有限子覆盖$H_1=\{U(x_i,{\delta }_i)|x\in [a,b],i=1,2,3,...\}$。因此，$H_1$中至多含有限项$\{x_n\}$中的项，这与$\cup H_1\supset [a,b]\supset \{x_n\}$矛盾，故假设不成立，Cauchy列收敛。