实数六大基本定理的相互证明

发表于 2022-06-30 更新于 2023-11-10 分类于 Study 阅读次数： Waline：本文字数： 25k 阅读时长 ≈ 22 分钟

简介

翟老师的<泛函分析>课程带我重新认识了实数。实数中有一些基本定理，但具体有几个存在着很多不同的观点。本文以六大定理为准，这六大定理分别为

确界原理
单调有界原理
Cantor闭区间套定理
致密性定理（聚点定理）
Cauchy收敛准则
有限覆盖定理

本文对这六大定理之间进行了循环证明，共计30个证明，如有不正之处，可在评论区指出，我会及时进行修正。

实数六大基本定理

1. 确界原理

如果非空集合$A\subset R$有上（下）界，则$A$必有上（下）确界。

2. 单调有界原理

如果数列$\{a_n\}$单调增且有上界（单调减且有下界），则必有极限$a=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n$。

3. Cantor闭区间套定理（闭集套定理的特殊形式）

如果一列闭区间$[a_n,b_n]$满足以下条件： \[ [a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset...\\ \lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0 \] 则存在唯一 $\xi\in\cap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]$。

4. （Bolzano-Weierstrass）致密性定理（$R^1$情形）

如果数列$\{a_n\}$有界（既有上界又有下界），则必存在收敛子数列，即有$\{a_{n_k}\}$，使得$\lim_{k\rightarrow+\infty}a_{n_k}$存在。

致密性定理与聚点定理等价。聚点定理：直线上的有界无限点集至少有一个聚点。

5. Cauchy收敛准则（数列情形）

数列$\{a_n\}$有极限（收敛）的充分必要条件是： \[ \forall \epsilon>0\Rightarrow\exists M\in N, 使得\ n,m>M\ 时\ |a_n-a_m|<\epsilon \]

6. （Heine-Borel）有限覆盖定理（区间特殊情形）

如果一个有限闭区间$[a,b]$被一组开区间覆盖，则这组开区间中一定存在有限个开区间，它们也覆盖了闭区间$[a,b]$。即 \[ [a,b]\subset \mathop{\cup}\limits_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)\Rightarrow \\\exists (a_i,b_i)\in \{(a_\lambda,b_\lambda)|\lambda\in\Lambda\},i=1,2,...n 使得\ [a,b]\subset \mathop{\cup}\limits_{i=1}^n(a_i,b_i) \]

确界原理证明其余定理

确界原理证明单调有界原理

设数列$\{a_n\}$为单调递增序列且上有界（单调递减且下有界的证明类似）

由确界原理可知，数列$\{a_n\}$必有上确界，记上确界为$a=\sup\{a_n\}$，接下来证明$a$即为数列$\{a_n\}$的极限。

对于$\forall \epsilon>0$，存在$a_N\in \{a_n\}$使得$a-\epsilon<a_N$，又因为数列$\{a_n\}$为单调递增序列，所以对于$n\geq N$都有： \[ a-\epsilon<a_N\leq a_n<a<a+\epsilon \] 因此，$\forall \epsilon>0$，存在$N$使得$n>N$时，$|a_n-a|<\epsilon$，即$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=a$。

确界原理证明闭区间套定理

设闭区间$[a_n,b_n]$满足： \[ [a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset...\\ \lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0 \] 首先证明存在性，即存在实数$\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

设$S=\{a_n\}$，则集合$S$非空且有上界（任一$b_n$都是其上界），则集合$S$有上确界，记为$\xi=\sup S$。

接着，证明$\xi \in [a_n,b_n],\forall n$。首先，$\xi$为集合$\{a_n\}$的上确界，则有$\xi \geq a_n, \forall n$，又$b_n$为集合$\{a_n\}$的上界，由上确界的定义可得，$\xi\leq b_n$，所以$a_n\leq\xi\leq b_n$，即$\xi\in[a_n,b_n],\forall n$。由此，证明了存在性。

然后证明唯一性，采用反证法，假设存在$\xi'\neq \xi$且$\xi'\in [a_n,b_n]$，则$|\xi'-\xi|\leq|a_n-b_n|\rightarrow0(n\rightarrow +\infty)$。故$\xi'=\xi$，从而证明唯一性。

确界原理证明聚点定理

设$S$为一有界无限点集，由确界定理可得，$S$存在上确界和下确界，记为$\eta=\sup S,\xi=\inf S$，则若$\eta$和$\xi$中有一个不是孤立点，则显然为$S$的聚点。

否则构造集合$E=\{x|S中仅有有限个数小于x\}$，令$\eta'=\sup E$，由$E$的定义可知，对于$$有$'+E$，即$'$和$'+$之间含有无数个$S$中的数，则$$，$('-,'+)$之间存在无穷多个$S$中的数，即$'$为$S$的一个聚点。

确界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{a_n\}$收敛且极限为$a$，则$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得 $m,n>M$时 \[ |a_m-a|<\frac{\epsilon}{2},\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得： \[ |a_m-a_n|\leq|a_m-a|+|a_n-a|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{a_n\}$满足，对于$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得$m,n>M$时，$|a_m-a_n|<\epsilon$。

首先证明数列$\{a_n\}$有界。取$\epsilon=1$，则$\exists N_0$，使得$n>N_0$时有$|a_n-a_{N_0+1}|<1$，则$\forall n>N_0,|a_n|\leq|a_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{a_n\}$有界。

构造非空有界集合$S=\{a|(-\infty,a)\cap\{a_n\}为空或有限项\}$，则显然数列$\{a_n\}$的上确界$\eta$为集合$S$的上界，则集合$S$上确界存在设为$\eta'=\sup S$。

由$S$的定义以及上确界的定义可得，$\forall \epsilon>0$，$(-\infty,\eta'-\epsilon)$中最多含有限个$\{a_n\}$中的点，$(-\infty,\eta'+\epsilon)$中含无限多个$\{a_n\}$中的点，因此$(\eta'-\epsilon,\eta'+\epsilon)$中含有无限多个$\{a_n\}$中的点。

$\forall \epsilon>0$，设$x_{n_k}\in(\eta'-\frac\epsilon2,\eta'+\frac\epsilon2)$，且$n_1<n_2<n_3<...$，$\exists M\in N$ 使得 $n>\max(M,n_1)$时，总有$n_k>\max(M,n_1)$使得 \[ |a_n-a_{n_k}|<\frac\epsilon2\\ |a_{n_k}-\eta'|<\frac\epsilon2 \] 则： \[ |a_n-\eta'|\leq|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-\eta'|<\epsilon \] 因此：$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\eta'$

确界原理证明有限覆盖定理

设集合$S=\{x|[a,x]能被H中有限个开区间覆盖\}$。显然集合$S$有上界。取$(\alpha,\beta)\in H$使得$a\in (\alpha,\beta)$，则可以取$x\in (\alpha,\beta) 且x>a$使得$[a,x]\subset (\alpha,\beta)$，即$[a,x]$可以被H中有限个开区间覆盖，因此集合$S$不为空。

集合$S$有上界且集合$S$不为空，由确界定理可知，集合$S$上确界存在记为$\xi=\sup S$。

现证$\xi=b$，采用反证法，假设$\xi \neq b$，则$a<\xi<b$。由$H$覆盖区间$[a,b]$，则存在$(\alpha_1，\beta_1)\in H$使得$\xi \in (\alpha_1,\beta_1)$，任取$x_1,x_2$使得$\alpha_1<x_1<\xi<x_2<\beta_1$，则$x_1 \in S$即区间$[a,x_1]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，通过给该有限覆盖添加区间$(\alpha_1,\beta_1)$即可覆盖闭区间$[a,x_2]$，则$x_2\in S$，这与$\xi=\sup S$相悖，故原假设不成立，$\xi=b$，即闭区间$[a,b]$可以被H中有限个开区间覆盖。

单调有界原理证明其余定理

单调有界原理证明确界原理

设一非空数集$S$有上界，证明其有上确界（下确界证明类似）

取所有不小于$S$中任何一个数的实数构成数列$\{r_n\}$，令$\{x_n\}=\min(r_1,r_2,...r_n)$，则数列$\{x_n\}$单调减且下有界（$S$中任意一个数都是其下界）。则数列$\{x_n\}$极限存在记$\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n$。

现证$\xi$为集合$S$的上确界。采用反证法

首先证明$\xi$为集合$S$的上界，假设$\exists a\in S$使得$a>\xi$，取$\epsilon=\frac{a-\xi}2$则数列$\{r_n\}$存在$r_N$使得 \[ \xi\leq r_N<\xi+\epsilon=\frac{a+\xi}2<\frac{a+a}2=a \] 故$r_N<a$，这与$r_N$为集合$S$的上界矛盾，故假设不成立，$\xi$为集合$S$的上界。

然后证明$\xi$为集合$S$的上确界，假设存在$\epsilon$使得$\forall a\in S,a<\xi-\epsilon$，则数列$\{r_n\}$中存在$r_N$使得 \[ x<\xi-\epsilon\leq r_N<\xi \] 又由$\xi$的定义可知，$\xi\leq r_N$，两者矛盾，故不存在这样的$\epsilon$，$\xi$为集合$S$的上确界。故集合$S$的上确界存在。

单调有界原理证明闭区间套定理

由闭区间套的条件可知，数列$\{a_n\}$单调增且上有界，则根据单调有界原理，数列$\{a_n\}$极限存在记为$\xi$，且有$a_n\leq \xi$，

同理，数列$\{b_n\}$单调减且下有界，则数列$\{b_n\}$极限存在，又$\lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0$，则 \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=\xi \] 且由闭区间套的条件可知，$\xi\leq b_n$。综上可得，存在实数$\xi$使得$a_n\leq \xi \leq b_n$，即$\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$

单调有界原理证明聚点定理

对于有界数列$\{a_n\}$

若在任一项之后，总存在最大的项。由此构造子列$\{a_{n_k}\}$。

设$a_1$后所有项的最大项为$a_{n_1}$，$a_2$后所有项的最大项为$a_{n_2}$，$a_k$后所有项的最大项为$a_{n_k}$根据该定义，则有$a_{n_k}\geq a_{n_{k+1}}$，故数列$\{a_{n_k}\}$单调递减且下有界（$\{a_n\}$有界）。因此，根据单调有界原理，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在。

若在任一项后，不存在最大的项，则取$a_{n_1}=a_1$，由于不存在最大的项，因此$\{a_n\}$中必存在$a_{n_2}>a_{n_1}$，以此类推，可得到$a_{n_3},...a_{n_k},...$，从而可以得到一个单调递增的有界数列$\{a_{n_k}\}$，由单调有界定理可知，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在。

综上所述，在两种情况下，数列$\{a_n\}$中均存在收敛子列$\{a_{n_k}\}$，致密性定理得证。

单调有界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

证明充分性：

设数列$\{a_n\}$满足，对于$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得$m,n>M$时，$|a_m-a_n|<\epsilon$。

不妨设$a_n\in[a,b]$，采用如下过程构造子列$\{a_{n_k}\}$：

在$[a,b]$中取$a_{n_1}\in \{a_n\}$使得$(a_{n_1},b]$中含数列$\{a_n\}$中无穷多项
在$(a_{n_k},b]$中取$a_{n_{k+1}}$使得$n_{k+1}>n_k$且$(a_{k+1},b]$中含数列$\{a_n\}$中无穷多项，则$a_{n_k}<a_{n_{k+1}}$

重复步骤2即可得到$\{a_n\}$的单调递增子列$\{a_{n_k}\}$。由单调有界原理可知，数列$\{a_{n_k}\}$极限存在记$\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n_k}=a$。

然后证数列$\{a_n\}$的极限为$a$，由极限的定义和柯西列的定义可知，$\forall \epsilon$，存在$M_1,M_2\in N$，使得： \[ n_k>M_1\ 时,\ |a_{n_k}-a|<\frac\epsilon2\\ n,n_k>M_2\ 时,\ |a_n-a_{n_k}|<\frac\epsilon2 \] 则$n,n_k>\max(M_1,M_2)$时，有$|a_n-a|<|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\epsilon$，数列$\{a_n\}$收敛到$a$。

单调有界原理证明有限覆盖定理

设有理数$r\in (a,b]$使得区间$[a,r]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，将这样的$r$排成一个数列记为$\{r_n\}$。由于存在开区间$(\alpha,\beta)\in H$使得$a\in (\alpha,\beta)$，取$r_n>a且r_n\in(\alpha,\beta)$，则这样的区间一定可以被$H$中有限个开区间覆盖，故数列$\{r_n\}$存在。

取$x_n=\max(r_1,r_2,...,r_n)$，则数列$\{x_n\}$单调递增，又$\forall n,r_n\leq b$，故$x_n\leq b$。由单调有界原理可知，数列$\{x_n\}$极限存在记$\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n$，且$r_n\leq x_n\leq \xi$。

由于$x_n\in [a,b]$，即$b$为数列$\{x_n\}$的一个上界，则$\xi\leq b$，又$a\leq x_n\leq \xi$，则有$a\leq \xi\leq b$，即$\xi \in [a,b]$，故$\xi$一定存在于$H$中的某个开区间$(\alpha_1,\beta_1)$中，再由极限的定义可知，存在$r_N\in \{r_n\}$使得$\alpha_1<r_N\leq\xi$。

由数列$\{r_n\}$的定义可知，$[a,r_N]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，那么给这个开区间覆盖添加开区间$(\alpha_1,\beta_1)$即可以覆盖闭区间$[a,\xi]$，因此，闭区间$[a,\xi]$可以被$H$中有限个开区间覆盖。

现证$\xi=b$，采用反正法，假设$\xi \neq b$，则$a<\xi<b$。则一定存在有理数$r'$使得$\xi<r'<\min(b,\beta_1)$，则区间$[a,r']$可以被$H$中有限个开区间覆盖，故$r'\in \{r_n\}$，$r'\leq \xi$，与$\xi<r'$矛盾，故假设不成立，因此，$\xi=b$。综上，即可得出结论，闭区间$[a,b]$可以被$H$中有限个开区间覆盖。

闭区间套定理证明其余定理

闭区间套定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界（下确界同理可证）。

设集合$S$有上界，设一数$\xi$为集合$S$的上确界，则$\xi$满足：

大于$\xi$的点均不在$S$中
$\xi$的任意小邻域中存在集合$S$的点

如果$\xi$落在闭区间$[a,b]$中的充要条件为：

任何大于$b$的点均不在$S$中
$[a,b]$中至少包含一个$S$中的点

对$[a,b]$区间进行等分为两个区间，则两个子区间中必有一个区间$[a_1,b_1]$符合上述条件。即$\xi$在区间$[a_1,b_1]$中。重复以上等分的过程，即可得到一系列闭区间满足： \[ [a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset... \] 并且有 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1{2^n}(b-a)=0 \] $\xi$属于上述所有$[a_n,b_n]$，由区间套定理可得，存为唯一$\xi$使得 $a_n\leq \xi\leq b_n$。并且 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\xi \]

$\forall x\in S$，都有$x\leq b_n$，则$x\leq\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\xi$。

$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$a_M>\xi-\epsilon$，又区间$[a_n,b_n]$中至少包含一个$S$中的点，则$\exists x\in S\cap[a_M,b_M]$使得$x\geq a_M>\xi-\epsilon$。从而，$\xi$是集合$S$的上确界，$S$的上确界存在，确界定理得证。

闭区间套定理证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$单调上有界（单调下有界证明类似），则任取其上界记为$b$，在$\{x_n\}$中任取一项作为$a$，则区间$[a,b]$中必含有数列$\{x_n\}$中无穷多项。

将区间$[a,b]$进行二等分，得到区间$[a,\frac{a+b}2]$和区间$[\frac{a+b}2,b]$，由于数列$\{x_n\}$单调递增，则两个子区间中有且仅有一个区间包含数列$\{x_n\}$中无穷多项，记该区间为$[a_1,b_1]$。

重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，由区间套定理可知，存在唯一实数$\xi$使得$\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$。

然后证明$\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n$，由于$\lim_{n\rightarrow +\infty}(b_n-a_n)=$，则$\forall \epsilon>0$，$\exists M_1\in N$使得$n>M_1$时，$|a_n-b_n|<\epsilon$，由区间$[a_n,b_n]$的构造性质可得，$[a_n,b_n]$中含数列$\{x_n\}$中无穷多项，则$\exists M_2\in N$使得$n>M_2$时，$x_n\in [a_n,b_n]$，又由于$a_n\leq \xi\leq b_n$，取$M=\max(M_1,M_2)$，则当$n>M$时，$|x_n-\xi|\leq|a_n-b_n|<\epsilon$，故$\xi$为数列$\{x_n\}$的极限。

闭区间套定理证明聚点定理

数列$\{x_n\}$有界，取$a,b$使得$a\leq x_n\leq b$，则闭区间$[a,b]$中包含了数列$\{x_n\}$中无穷多项。

将闭区间$[a,b]$等分为两个子闭区间，则两个闭区间中至少有一个包含$\{x_n\}$中无穷多项，记为$[a_1,b_1]$，重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$

由区间套定理可知，存在唯一$\xi$使得$\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$，即 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\xi \] 则，$\exists n_1$，使得$\xi-1<a_{n_1}\leq \xi\leq b_{n_1}<\xi+1$，由于$[a_{n_1},b_{n_1}]$中含有数列$\{x_n\}$中无穷多项，因此任取$x_{n_1}\in \{x_n\}\cap [a_{n_1},b_{n_1}]$。

同理，$\forall k=1,2,3,...$，$\exists n_k$使得$\xi-\frac1k<a_{n_k}\leq \xi\leq b_{n_k}<\xi+\frac1k$，取$x_{n_k}\in \{x_n\}\cap [a_{n_k},b_{n_k}]$。由此构造出数列$\{x_{n_k}\}$。

由$\{x_{n_k}\}$的构造过程可知，$\forall \epsilon>0$，$\exists M=\lceil\frac1\epsilon\rceil$使得$k>M$时，$|x_{n_k}-\xi|<\epsilon$，故$\xi$是数列$\{x_{n_k}\}$的极限。

因此，有界无限数列存在收敛子列，致密性定理得证。

闭区间套定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

若数列$\{x_n\}$收敛且极限为$x$，则$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得 $m,n>M$时 \[ |x_m-x|<\frac{\epsilon}{2},\ |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得： \[ |x_m-x_n|\leq|x_m-x|+|x_n-x|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得$n>M$时，$|x_n-x_M|<\epsilon$。即$x_n\in[x_M-\epsilon,x_M+\epsilon]$。

取$\epsilon=\frac12$，则$\exists M_1\in N$使得$n>M_1$时，$x_n\in [x_{M_1}-\epsilon,x_{M_1}+\epsilon]$，记该区间为$[a_1,b_1]$，

取$\epsilon=\frac1{2^2}$，则$\exists M_2\in N$使得$n>M_2$时，$x_n\in [x_{M_2}-\epsilon,x_{M_2}+\epsilon]$，记该区间为$[a_2,b_2]$，

取$\epsilon=\frac1{2^3}$，则$\exists M_3\in N$使得$n>M_3$时，$x_n\in [x_{M_3}-\epsilon,x_{M_3}+\epsilon]$，记该区间为$[a_3,b_3]$，

以此类推，便能得到一系列闭区间$[a_n,b_n]$且$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]$。由闭区间套定理可知，存在唯一$\xi \in[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，从而，$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$n>M$时，$x_n$均属于某个闭区间$[a_n,b_n]$且$|b_n-a_n|< \epsilon$，则$|x_n-\xi|<\epsilon$，因此$x_n\rightarrow \xi(n\rightarrow +\infty)$。

闭区间套定理证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖

采用反证法。假设闭区间$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖，则对$[a,b]$进行等分，则两个子区间中至少存在一个闭区间不能被$H$中有限个开区间覆盖（否则与$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖矛盾），记该区间为$[a_1,b_1]$。以此类推得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$，并且每个闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖。

由闭区间套定理可知，$\exists\xi$使得$\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3...$，则$H$中存在开覆盖$(\alpha,\beta)$使得$\xi\in(\alpha,\beta)$，设$\epsilon=\min(|\alpha-\xi|,|\beta-\epsilon|)$，由于$\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=0$，则$\exists M\in N$，使得$n>M$后都有$|b_n-a_n|<\epsilon$，又$\xi\in [a_n,b_n]$，则$[a_n,b_n]\subset (\alpha,\beta)$，即区间$[a_n,b_n]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，与闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

聚点定理证明其余定理

聚点定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界（下确界同理可证）。

设集合$S$有上界，则任取其上界记为$b$，取$a\in S$构造区间$[a,b]$中至少含有集合$S$中一项。定义性质$P$：区间中至少含有集合$S$中一项且区间的右端点必为$S$的一个上界。则显然区间$[a,b]$满足性质$P$

将区间$[a,b]$进行二等分，得到区间$[a,\frac{a+b}2]$和区间$[\frac{a+b}2,b]$，则两个子区间中至少有一个区间满足性质$P$，记该区间为$[a_1,b_1]$。重复以上过程得到一系列闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$

从而有$\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1{2^n}(b-a)=0$

构造数列$\{b_n\}$，显然数列$\{b_n\}$有无穷多项且有界（$a\leq b_n\leq b$）。由聚点定理可知，$\{b_n\}$有聚点记作$\xi$。又因为数列$\{b_n\}$单调递减，则$\forall \epsilon$，$\exists M\in N$使得$b_n\in U(\xi,\epsilon)$，即$\xi$为数列$\{b_n\}$的极限。由$\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=0$可得，数列$\{a_n\}$的极限也为$\xi$。

由于$\{b_n\}$均为$S$的上界，因此$\xi$也为$S$的上界。又$a_n\rightarrow \xi$且$[a_n,b_n]\cap S\neq\varnothing$，则$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$n>M$时使得$a_n$，$\exists x\in S$使得$x\in [a_n,b_n]$且$\xi-\epsilon<x\leq \xi$，故$\xi$为集合$S$的上确界。

聚点定理证明单调有界原理

任取单调有界数列$\{a_n\}$，不妨设数列$\{a_n\}$单调递增（单调递减的证明类似）。则由致密性定理（聚点定理）可知，$\{a_n\}$中存在聚点记为$a$。

根据聚点的定义，$\forall \epsilon>0$，存在$M\in N$使得$|a_M-a|<\epsilon$，假设存在$n_1>M$使得$|a_{n_1}-a|>\epsilon$，则$a_{n_1}>a+\epsilon$或$a_{n_1}<a-\epsilon$，由数列单调性可知，后者显然不成立。

若前者成立，即$a_{n_1}>a+\epsilon$，则根据单调性，任取$n>n_1$都有$a_n>a+\epsilon$，则$a$的$\epsilon$邻域中只含有限项，这与$a$是$\{a_n\}$的聚点矛盾，故原假设不成立。因此，$\forall \epsilon>0$，存在$M\in N$使得$n>M$时，$|a_n-a|<\epsilon$，故数列$\{a_n\}$极限存在。

聚点定理证明闭区间套定理

$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套，令$S=\{a_n\}\cup\{b_n\}$，则集合$S$有界无限，根据聚点定理，集合$S$存在聚点$\xi$。接着证明$a_n\leq\xi\leq b_n$，采用反证法。

假设存在$a_M$使得$b_n>a_M>\xi$，则由数列$\{a_n\}$的单调性可知，$n>M$时，$a_n>a_M>\xi$。取$\epsilon=a_M-\xi$，则在$(\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)$中，至多有有限$S$中的点，这与$\xi$是$S$的聚点相矛盾，因此$a_n\leq\xi$，同理可证$\xi\leq b_n$。从而有$\xi\in[a_n,b_n],n=1,2,3,...$

聚点定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得$m,n>M$时，$|x_m-x_n|<\epsilon$。

首先证明数列$\{x_n\}$有界。取$\epsilon=1$，则$\exists N_0$，使得$n>N_0$时有$|x_n-x_{N_0+1}|<1$，则$\forall n>N_0,|x_n|\leq|x_{N_0+1}|+1$。又因为数列的前$N_0$项为有限项，因此数列$\{x_n\}$有界。

接着对$\{x_n\}$进行分类讨论：

若$\{x_n\}$中含有有限个相异的项，那么必然会有一项出现无限多次记作$x_{n_0}$，这时就可以得到$\{x_n\}$的一个子列$\{x_{n_k}\}$满足$x_{n_k}=x_{n_0}$且$n_{k+1}>n_k$。又$\{x_n\}$为Cauchy列，故$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$m,n>M$时，有$|x_m-x_n|<\epsilon$。特别的，当$n>M,k>M$时，有$n_k\geq n>M$，则$|x_n-x_{n_k}|<\epsilon$，即$|x_n-x_{n_0}|<\epsilon|$，因此，$\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=x_{n_0}$。

若$\{x_n\}$含有无穷多相异的项，则数集$S=\{x_n\}$为有界无限点集，根据聚点定理，$S$中至少有一聚点$\xi$，根据聚点的定义$\forall k$，在$U(\xi,\frac1k)$中必包含$\{x_n\}$中无穷多项，从而在$U(\xi,\frac1k),k=1,2,3,...$中可任选出$x_{n_k}$组成子列$\{x_{n_k}\}$，则$x_{n_k}\rightarrow\xi(k\rightarrow +\infty)$，同上一部分的证明可知，$x_n\rightarrow\xi(n\rightarrow+\infty)$

聚点定理证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖

令$S=\{a_n\}\cup\{b_n\}$，则集合$S$有界无限，根据聚点定理，集合$S$存在聚点$\xi$。接着证明$a_n\leq\xi\leq b_n$，采用反证法。

又$[a_n,b_n]\subset[a,b]$，故$\xi\in [a,b]$，因此$\xi$必然属于$H$中的某个开区间$(\alpha,\beta)$设$\epsilon=\min(|\alpha-\xi|,|\beta-\epsilon|)$，由于$\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)$，则$\exists M\in N$，使得$n>M$后都有$|b_n-a_n|<\epsilon$，又$\xi\in [a_n,b_n]$，则$[a_n,b_n]\subset (\alpha,\beta)$，即区间$[a_n,b_n]$可以被$H$中有限个开区间覆盖，与闭区间$[a_n,b_n]$都无法被$H$中有限个开区间覆盖相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

Cauchy收敛准则证明其余定理

Cauchy收敛准则证明确界原理

设$S$为非空有上界数集（非空有下界证明类似），由实数的阿基米德性，对于任意实数$a$，存在整数$K_a$使得$\lambda_a=K_aa$为数集$S$的上界，而$\lambda_a-a=(K_a-1)a$不为数集$S$的上界。即$\exists x_0\in S$使得$x_0>\lambda_a-a$。

取$a=\frac1n,n=1,2,3,...$，则对于每个正整数$n$，都存在对应的$\lambda_n$使得$\lambda_n$为数集的上界，而$\exists x_0\in S$，使得$x_0>\lambda_n-\frac1n$。

对于实数$m$则有$\lambda_m$为数集$S$的上界，故$\lambda_m\geq x_0> \lambda_n-\frac1n$，则$\lambda_n-\lambda_m<\frac1n$。同理可得，$\lambda_m-\lambda_n<\frac1m$。从而$|\lambda_m-\lambda_n|<\max(\frac1n,\frac1m)$。

于是，$>0 $，$MN$使得$m,n>N$时，$|_m-_n|<$。故数列${_n}$为柯西列，极限存在记为$$。

然后证明$\lambda$为数集$S$的上确界。首先，$\forall n,\forall a\in S,a\leq \lambda_n$，又$\lim_{n\rightarrow+\infty}\lambda_n=\lambda$，故$a\leq \lambda$，$\lambda$为数集$S$的一个上界。又$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$n>M$时，$\lambda-\lambda_n<\frac\epsilon2$且$\frac1n<\frac\epsilon2$,则 \[ \lambda-\epsilon<\lambda_n-\frac\epsilon2<\lambda_n-\frac1n \] 又$\forall n,\exists x_0\in S$使得$x_0>\lambda_n-\frac1n$，故$x_0>\lambda-\epsilon$，因此$\lambda$为数集$S$的上确界。

Cauchy收敛准则证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$为单调增有上界，采用反证法，假设数列$\{x_n\}$极限不存在，则根据Cauchy收敛准则，$\exists \epsilon_0$，使得$\forall M\in N$，$\exists m>n>M$使得$x_m-x_n>\epsilon_0$。任取$M$，则可以得到数列$\{x_n\}$的一个子列$\{x_{n_k}\}$使得$x_{n_{k+1}}>x_{n_k}+\epsilon_0>...>x_{n_1}+k\epsilon_0$，则$x_{n_k}\rightarrow+\infty(k\rightarrow+\infty)$，故数列$\{x_n\}$无解，与$\{x_n\}$上有界矛盾，故假设不成立，数列$\{x_n\}$极限存在。

Cauchy收敛准则证明闭区间套定理

设$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套，则由$(b_n-a_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)$可知，$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$n>M$时，$|b_n-a_n|<\epsilon$。

由于数列$\{a_n\}$单调递增，数列$\{b_n\}$单调递减，且$b_n>a_n$，故对于$\forall m>n>M$都有 \[ a_n\leq a_m\leq b_m\leq b_n \] 则$|a_m-a_n|\leq|b_n-a_n|<\epsilon$，$|b_m-b_n|\leq|b_n-a_n|<\epsilon$。

由Cauchy收敛准则可知，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$极限存在，又$(b_n-a_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)$，则 \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\xi \] 接着证明$a_n\leq\xi\leq b_n$，采用反证法。

假设存在$a_M$使得$a_M>\xi$，则由数列$\{a_n\}$的单调性可知，$n>M$时，$a_n>a_M>\xi$。因此$|a_n-\xi|=a_n-\xi>0$，两侧取极限得$$

Cauchy收敛准则证明聚点定理

设$S$为有界无限点集

取$a$为$S$的一个下界，则对于任意自然数$n$，存在自然数$k_n$使得$x_n=a+\frac{k_n}n$满足以下性质：

$(x_n,+\infty)$中至多包含$S$中有限个点
$(x_n-\frac1n,+\infty)$中包含$S$中无限个点

则对于任意自然数$m,n$，都有$x_n-\frac1n<x_m$，否则若$x_m\leq x_n-\frac1n$，则$(x_m,+\infty)$中含有$S$中无限个点，与上述性质矛盾。因此$|x_m-x_n|<\max(\frac1n,\frac1m)$，则$\{x_n\}$为柯西列，极限存在记为$\xi$。 \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}(x_n-\frac1n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n-\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1n=\xi \] 因此，对于$\forall \epsilon>0$，$\exists M\in N$使得$n>M$时，$x_n,x_n-\frac1n\in (\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)$。则$(x_n-\frac1n,+\infty)\subset (\xi-\epsilon,+\infty)$，$(\xi+\epsilon,+\infty)\subset (x_n,+\infty)$。因此$(\xi-\epsilon)$中含有$S$中无限个点，$(\xi+\epsilon,+\infty)$中至多含有$S$中有限个点，从而$(\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)$中含有$S$中无限个点，故$\xi$为$S$的聚点，故聚点定理得证。

Cauchy收敛准则证明有限覆盖定理

证明闭区间$[a,b]$的任意开覆盖$H$都有有限子覆盖。

设性质$P$：闭区间可以被$H$中有限个开区间覆盖，性质$P^{-1}$：闭区间不能被$H$中有限个开区间覆盖。

采用反证法，假设$[a,b]$不能被$H$中有限个开区间覆盖，则$\exists x_1\in [a,b]$使得$[x_1-1,x_1+1]\cap[a,b]=[a_1,b_1]$具有性质$P^{-1}$，否则$[a,b]$具有性质$P$。

同理，$\exists x_2\in [a_1,b_1]$使得$[x_2-\frac12,x_2+\frac12]$具有性质$P^{-1}$，重复以上过程即可得到数列$\{x_n\}$，使得$[a_n,b_n]=[x_n-\frac1n,x_n+\frac1n]\cap[a,b]$具有性质$P^{-1}$。并且对于$\forall m,n$，有$|x_m-x_n|\leq \max(\frac1m,\frac1n)$。因此，数列$\{x_n\}$为Cauchy列，极限存在记为$\xi$。

显然，$\xi \in [a,b]$，则存在开区间$(\alpha,\beta)\in H$使得$\xi\in(\alpha,\beta)$，又$x_n\rightarrow\xi(n\rightarrow +\infty)$，则$\exists M\in N$使得$[x_M-\frac1M,x_M+\frac1M]\subset (\alpha,\beta)$，这与$[x_M-\frac1M,x_M+\frac1M]$具有性质$P^{-1}$相矛盾，故假设不成立，有限覆盖定理得证。

有限覆盖定理证明其余定理

有限覆盖定理证明确界原理

设$S$为非空上有界数集（非空下有界的证明类似），若$S$中存在最大值，则易证上确界为最大值。若$S$中无最大值，采用反证法，假设$\xi=\sup S$不存在，设$a$为$S$中任意一点，$b$为$S$的任意一个上界。下面作区间$[a,b]$的无限开覆盖，对任意$x\in [a,b]$，存在以下三种情形：

若$x\in S$，由于$S$中没有最大值，则存在$x_1>x$，取$\delta=x_1-x$得到$x$的邻域$(x-\delta,x+\delta)$
若$x\notin S$且$x$不是$S$的上界，则同样存在$x_1>x$，取$\delta=x_1-x$得到$x$的邻域$(x-\delta,x+\delta)$
若$x$为$S$的上界，由于$S$没有上确界，则存在$\delta$使得$(x-\delta,x+\delta)$中不存在$S$中任何一点。

上述所有的开区间组成闭区间$[a,b]$的一个无限开覆盖： \[ H=\{(x-\delta_x,x+\delta_x)|x\in[a,b]\} \] 由有限覆盖定理可得，$[a,b]$存在一个有限开覆盖$H_1$： \[ H_1=\{(x_k-\delta_k,x_k+\delta_k)|x_k\in [a,b],k=1,2,3,...\} \] 设满足情形3的开区间为第一类开区间，否则为第二类开区间。显然，$a$在第二类开区间中，$b$在第一类开区间中，若$H_1$可以有限覆盖$[a,b]$，则第一类开区间和第二类开区间之间必有交集，而根据两类开区间的定义，第一类开区间和第二类开区间之间不存在交集，故假设不成立，$S$的上确界$\xi=\sup S$存在。故确界定理得证。

有限覆盖定理证明单调有界原理

设数列$\{x_n\}$单调增上有界（单调减下有界的证明类似），若$\{x_n\}$中存在最大值，则易证数列$\{x_n\}$极限存在。若$\{x_n\}$中无最大值，采用反证法，假设数列$\{x_n\}$极限不存在。取$\{x_n\}$二的任意上界$M$和任意自然数$n_0$，则显然$x_{n_0}<M$，下面作闭区间$[x_{n_0},M]$的无限开覆盖，设$x\in [x_{n_0},M]$，则存在以下三种情形：

若$x=x_{n_1}$，由于$\{x_n\}$中没有最大值，则可以找到$x_{n_2}>x_{n_1}$，取$\delta=x_{n_2}-x_{n_1}$，得到$x$的邻域$(x-\delta, x+\delta)$
若$x\notin \{x_n\}$且$x$不是$\{x_n\}$的上界，则同样存在$x_{n_2}>x$，取$\delta=x_{n_2}-x$，得到$x$的邻域$(x-\delta,x+\delta)$
若$x$为$\{x_n\}$的上界，由于$\{x_n\}$的极限不存在，故一定存在$\delta$使得$(x-\delta,x+\delta)$中不含任何$\{x_n\}$中的项。

上述的所有开区间组成闭区间$[x_{n_0},M]$的一个开覆盖$H$。由有限覆盖定理可知，存在一个有限开覆盖$H_1$可以覆盖区间$[x_{n_0},M]$，即$H_1=\{(x_i-\delta_i,x_i+\delta_i)|i=1,2,3,...\}$。

可以将这些开区间分为两类，第一类满足上述情形3，第二类不满足。则显然$M$在第一类的开区间中，$x_{n_0}$在第二类的开区间中。若这些开区间可以将闭区间$[x_{n_0},M]$有限覆盖，则第一类开区间和第二类开区间必然存在交集。而显然，第一类开区间与第二类开区间之间不存在交集。因此假设不成立，数列$\{x_n\}$极限存在。

有限覆盖定理证明闭区间套定理

设$\{[a_n,b_n]\}$为一列闭区间套。采用反证法，假设闭区间$[a_n,b_n],n=1,2,3,...$中不存在公共点$\xi$，从而，$\forall x \in [a_1,b_1]$，总存在$\delta_x$使得$(x-\delta_x,x+\delta_x)$不与所有的$[a_n,b_n]$相交，即存在$[a_{n_x},b_{n_x}]$使得$(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap[a_{n_x},b_{n_x}]=\varnothing$。则这些$x$的邻域构成区间$[a_1,b_1]$中的一个开覆盖记作： \[ H=\{(x-\delta_x,x+\delta_x)|x\in [a_1,b_1]\} \] 由有限覆盖定理可知，$H$中存在$[a_1,b_1]$的一个有限子覆盖记为： \[ H_1=\{(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})|x_k\in [a_1,b_1],k=1,2,3,...\} \] 相应的，$(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})\cap[a_{n_k},b_{n_k}]=\varnothing$。根据区间套的条件，在$[a_{n_k},b_{n_k}]$中找到最小的一个闭区间记作$[a_{n_0},b_{n_0}]$。则$[a_{n_0},b_{n_0}]\cap(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})=\varnothing, k=1,2,3,...$，这与$[a_{n_0},b_{n_0}]\subset [a_1,b_1]$矛盾，故假设不成立，闭区间套定理得证。

有限覆盖定理证明聚点定理

设$S$为有界无穷点集，则存在$M$，使得$S\subset [-M,+M]$。由于闭区间的聚点都包含在闭区间中，故若$S$存在聚点，则一定包含在$[-M,+M]$中。

采用反证法，假设$S$无聚点，即$[-M,+M]$中任意一点都不是$S$的聚点，则对于$\forall x\in [-M,+M]$，存在相应的$\delta_x$使得$U(x,\delta_x)$中至多含有限个$S$中的点。这些$x$的邻域形成区间$[-M,+M]$的一个无限开覆盖： \[ H=\{U(x,\delta_x)|x\in [-M，+M]\} \] 由有限覆盖定理可知，$H$中存在$[-M,+M]$的一个有限子覆盖记为： \[ H_1=\{U(x_i,\delta_{x_i}|x_i\in [-M,+M],i=1,2,3,...\} \] 则在$H_1$中，至多含有限个$S$中的点，这与$\cup H_1\supset [-M,+M]\supset S$矛盾，故假设不成立，聚点定理得证。

有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性：

证明充分性：

设数列$\{x_n\}$满足，对于$\forall \epsilon>0,\exists M\in N$，使得$m,n>M$时，$|x_m-x_n|<\epsilon$。

采用反证法，假设数列$\{x_n\}$不收敛。则$\forall x\in [a,b]$，$\exists U(x,\delta)$中至多含有$\{x_n\}$有限多项（否则易证$x$为$\{x_n\}$的极限）。

设$[a,b]$的一个开覆盖为$H=\{U(x,\delta)|x\in [a,b]\}$,则该开覆盖存在有限子覆盖$H_1=\{U(x_i,\delta_i)|x\in[a,b],i=1,2,3,...\}$。因此，$H_1$中至多含有限项$\{x_n\}$中的项，这与$\cup H_1\supset [a,b]\supset \{x_n\}$矛盾，故假设不成立，Cauchy列收敛。

简介

实数六大基本定理

1. 确界原理

2. 单调有界原理

3. Cantor闭区间套定理（闭集套定理的特殊形式）

4. （Bolzano-Weierstrass）致密性定理（\(R^1\)情形）

5. Cauchy收敛准则（数列情形）

6. （Heine-Borel）有限覆盖定理（区间特殊情形）

确界原理证明其余定理

确界原理证明单调有界原理

确界原理证明闭区间套定理

确界原理证明聚点定理

确界原理证明Cauchy收敛准则

确界原理证明有限覆盖定理

单调有界原理证明其余定理

单调有界原理证明确界原理

单调有界原理证明闭区间套定理

单调有界原理证明聚点定理

单调有界原理证明Cauchy收敛准则

单调有界原理证明有限覆盖定理

闭区间套定理证明其余定理

闭区间套定理证明确界原理

闭区间套定理证明单调有界原理

闭区间套定理证明聚点定理

闭区间套定理证明Cauchy收敛准则

闭区间套定理证明有限覆盖定理

聚点定理证明其余定理

聚点定理证明确界原理

聚点定理证明单调有界原理

聚点定理证明闭区间套定理

聚点定理证明Cauchy收敛准则

聚点定理证明有限覆盖定理

Cauchy收敛准则证明其余定理

Cauchy收敛准则证明确界原理

Cauchy收敛准则证明单调有界原理

Cauchy收敛准则证明闭区间套定理

Cauchy收敛准则证明聚点定理

Cauchy收敛准则证明有限覆盖定理

有限覆盖定理证明其余定理

有限覆盖定理证明确界原理

有限覆盖定理证明单调有界原理

有限覆盖定理证明闭区间套定理

有限覆盖定理证明聚点定理

有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则