实数六大基本定理的相互证明

简介

翟老师的<泛函分析>课程带我重新认识了实数。实数中有一些基本定理,但具体有几个存在着很多不同的观点。本文以六大定理为准,这六大定理分别为

  • 确界原理
  • 单调有界原理
  • Cantor闭区间套定理
  • 致密性定理(聚点定理)
  • Cauchy收敛准则
  • 有限覆盖定理

本文对这六大定理之间进行了循环证明,共计30个证明,如有不正之处,可在评论区指出,我会及时进行修正。

实数六大基本定理

1. 确界原理

如果非空集合\(A\subset R\)有上(下)界,则\(A\)必有上(下)确界。

2. 单调有界原理

如果数列\(\{a_n\}\)单调增且有上界(单调减且有下界),则必有极限\(a=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n\)

3. Cantor闭区间套定理(闭集套定理的特殊形式)

如果一列闭区间\([a_n,b_n]\)满足以下条件: \[ [a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset...\\ \lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0 \] 则存在唯一 \(\xi\in\cap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]\)

4. (Bolzano-Weierstrass)致密性定理(\(R^1\)情形)

如果数列\(\{a_n\}\)有界(既有上界又有下界),则必存在收敛子数列,即有\(\{a_{n_k}\}\),使得\(\lim_{k\rightarrow+\infty}a_{n_k}\)存在。

致密性定理与聚点定理等价。聚点定理:直线上的有界无限点集至少有一个聚点。

5. Cauchy收敛准则(数列情形)

数列\(\{a_n\}\)有极限(收敛)的充分必要条件是: \[ \forall \epsilon>0\Rightarrow\exists M\in N, 使得\ n,m>M\ 时\ |a_n-a_m|<\epsilon \]

6. (Heine-Borel)有限覆盖定理(区间特殊情形)

如果一个有限闭区间\([a,b]\)被一组开区间覆盖,则这组开区间中一定存在有限个开区间,它们也覆盖了闭区间\([a,b]\)。即 \[ [a,b]\subset \mathop{\cup}\limits_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)\Rightarrow \\\exists (a_i,b_i)\in \{(a_\lambda,b_\lambda)|\lambda\in\Lambda\},i=1,2,...n 使得\ [a,b]\subset \mathop{\cup}\limits_{i=1}^n(a_i,b_i) \]

确界原理证明其余定理

确界原理证明单调有界原理

设数列\(\{a_n\}\)为单调递增序列且上有界(单调递减且下有界的证明类似)

由确界原理可知,数列\(\{a_n\}\)必有上确界,记上确界为\(a=\sup\{a_n\}\),接下来证明\(a\)即为数列\(\{a_n\}\)的极限。

对于\(\forall \epsilon>0\),存在\(a_N\in \{a_n\}\)使得\(a-\epsilon<a_N\),又因为数列\(\{a_n\}\)为单调递增序列,所以对于\(n\geq N\)都有: \[ a-\epsilon<a_N\leq a_n<a<a+\epsilon \] 因此,\(\forall \epsilon>0\),存在\(N\)使得\(n>N\)时,\(|a_n-a|<\epsilon\),即\(\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=a\)

确界原理证明闭区间套定理

设闭区间\([a_n,b_n]\)满足: \[ [a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset...\\ \lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0 \] 首先证明存在性,即存在实数\(\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

\(S=\{a_n\}\),则集合\(S\)非空且有上界(任一\(b_n\)都是其上界),则集合\(S\)有上确界,记为\(\xi=\sup S\)

接着,证明\(\xi \in [a_n,b_n],\forall n\)。首先,\(\xi\)为集合\(\{a_n\}\)的上确界,则有\(\xi \geq a_n, \forall n\),又\(b_n\)为集合\(\{a_n\}\)的上界,由上确界的定义可得,\(\xi\leq b_n\),所以\(a_n\leq\xi\leq b_n\),即\(\xi\in[a_n,b_n],\forall n\)。由此,证明了存在性。

然后证明唯一性,采用反证法,假设存在\(\xi'\neq \xi\)\(\xi'\in [a_n,b_n]\),则\(|\xi'-\xi|\leq|a_n-b_n|\rightarrow0(n\rightarrow +\infty)\)。故\(\xi'=\xi\),从而证明唯一性。

确界原理证明聚点定理

\(S\)为一有界无限点集,由确界定理可得,\(S\)存在上确界和下确界,记为\(\eta=\sup S,\xi=\inf S\),则若\(\eta\)\(\xi\)中有一个不是孤立点,则显然为\(S\)的聚点。

否则构造集合\(E=\{x|S中仅有有限个数小于x\}\),令\(\eta'=\sup E\),由\(E\)的定义可知,对于$\(有\)'+E\(,即\)'\(和\)'+\(之间含有无数个\)S\(中的数,则\)\(,\)('-,'+)\(之间存在无穷多个\)S\(中的数,即\)'\(为\)S$的一个聚点。

确界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性:

若数列\(\{a_n\}\)收敛且极限为\(a\),则\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得 \(m,n>M\)\[ |a_m-a|<\frac{\epsilon}{2},\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得: \[ |a_m-a_n|\leq|a_m-a|+|a_n-a|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性:

设数列\(\{a_n\}\)满足,对于\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得\(m,n>M\)时,\(|a_m-a_n|<\epsilon\)

首先证明数列\(\{a_n\}\)有界。取\(\epsilon=1\),则\(\exists N_0\),使得\(n>N_0\)时有\(|a_n-a_{N_0+1}|<1\),则\(\forall n>N_0,|a_n|\leq|a_{N_0+1}|+1\)。又因为数列的前\(N_0\)项为有限项,因此数列\(\{a_n\}\)有界。

构造非空有界集合\(S=\{a|(-\infty,a)\cap\{a_n\}为空或有限项\}\),则显然数列\(\{a_n\}\)的上确界\(\eta\)为集合\(S\)的上界,则集合\(S\)上确界存在设为\(\eta'=\sup S\)

\(S\)的定义以及上确界的定义可得,\(\forall \epsilon>0\)\((-\infty,\eta'-\epsilon)\)中最多含有限个\(\{a_n\}\)中的点,\((-\infty,\eta'+\epsilon)\)中含无限多个\(\{a_n\}\)中的点,因此\((\eta'-\epsilon,\eta'+\epsilon)\)中含有无限多个\(\{a_n\}\)中的点。

\(\forall \epsilon>0\),设\(x_{n_k}\in(\eta'-\frac\epsilon2,\eta'+\frac\epsilon2)\),且\(n_1<n_2<n_3<...\)\(\exists M\in N\) 使得 \(n>\max(M,n_1)\)时,总有\(n_k>\max(M,n_1)\)使得 \[ |a_n-a_{n_k}|<\frac\epsilon2\\ |a_{n_k}-\eta'|<\frac\epsilon2 \] 则: \[ |a_n-\eta'|\leq|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-\eta'|<\epsilon \] 因此:\(\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\eta'\)

确界原理证明有限覆盖定理

设集合\(S=\{x|[a,x]能被H中有限个开区间覆盖\}\)。显然集合\(S\)有上界。取\((\alpha,\beta)\in H\)使得\(a\in (\alpha,\beta)\),则可以取\(x\in (\alpha,\beta) 且x>a\)使得\([a,x]\subset (\alpha,\beta)\),即\([a,x]\)可以被H中有限个开区间覆盖,因此集合\(S\)不为空。

集合\(S\)有上界且集合\(S\)不为空,由确界定理可知,集合\(S\)上确界存在记为\(\xi=\sup S\)

现证\(\xi=b\),采用反证法,假设\(\xi \neq b\),则\(a<\xi<b\)。由\(H\)覆盖区间\([a,b]\),则存在\((\alpha_1,\beta_1)\in H\)使得\(\xi \in (\alpha_1,\beta_1)\),任取\(x_1,x_2\)使得\(\alpha_1<x_1<\xi<x_2<\beta_1\),则\(x_1 \in S\)即区间\([a,x_1]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,通过给该有限覆盖添加区间\((\alpha_1,\beta_1)\)即可覆盖闭区间\([a,x_2]\),则\(x_2\in S\),这与\(\xi=\sup S\)相悖,故原假设不成立,\(\xi=b\),即闭区间\([a,b]\)可以被H中有限个开区间覆盖。

单调有界原理证明其余定理

单调有界原理证明确界原理

设一非空数集\(S\)有上界,证明其有上确界(下确界证明类似)

取所有不小于\(S\)中任何一个数的实数构成数列\(\{r_n\}\),令\(\{x_n\}=\min(r_1,r_2,...r_n)\),则数列\(\{x_n\}\)单调减且下有界(\(S\)中任意一个数都是其下界)。则数列\(\{x_n\}\)极限存在记\(\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n\)

现证\(\xi\)为集合\(S\)的上确界。采用反证法

首先证明\(\xi\)为集合\(S\)的上界,假设\(\exists a\in S\)使得\(a>\xi\),取\(\epsilon=\frac{a-\xi}2\)则数列\(\{r_n\}\)存在\(r_N\)使得 \[ \xi\leq r_N<\xi+\epsilon=\frac{a+\xi}2<\frac{a+a}2=a \]\(r_N<a\),这与\(r_N\)为集合\(S\)的上界矛盾,故假设不成立,\(\xi\)为集合\(S\)的上界。

然后证明\(\xi\)为集合\(S\)的上确界,假设存在\(\epsilon\)使得\(\forall a\in S,a<\xi-\epsilon\),则数列\(\{r_n\}\)中存在\(r_N\)使得 \[ x<\xi-\epsilon\leq r_N<\xi \] 又由\(\xi\)的定义可知,\(\xi\leq r_N\),两者矛盾,故不存在这样的\(\epsilon\)\(\xi\)为集合\(S\)的上确界。故集合\(S\)的上确界存在。

单调有界原理证明闭区间套定理

设闭区间\([a_n,b_n]\)满足: \[ [a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset...\\ \lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0 \] 首先证明存在性,即存在实数\(\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

由闭区间套的条件可知,数列\(\{a_n\}\)单调增且上有界,则根据单调有界原理,数列\(\{a_n\}\)极限存在记为\(\xi\),且有\(a_n\leq \xi\)

同理,数列\(\{b_n\}\)单调减且下有界,则数列\(\{b_n\}\)极限存在,又\(\lim_{n\rightarrow +\infty} (b_n-a_n)=0\),则 \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=\xi \] 且由闭区间套的条件可知,\(\xi\leq b_n\)。综上可得,存在实数\(\xi\)使得\(a_n\leq \xi \leq b_n\),即\(\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

然后证明唯一性,采用反证法,假设存在\(\xi'\neq \xi\)\(\xi'\in [a_n,b_n]\),则\(|\xi'-\xi|\leq|a_n-b_n|\rightarrow0(n\rightarrow +\infty)\)。故\(\xi'=\xi\),从而证明唯一性。

单调有界原理证明聚点定理

对于有界数列\(\{a_n\}\)

若在任一项之后,总存在最大的项。由此构造子列\(\{a_{n_k}\}\)

\(a_1\)后所有项的最大项为\(a_{n_1}\)\(a_2\)后所有项的最大项为\(a_{n_2}\)\(a_k\)后所有项的最大项为\(a_{n_k}\)根据该定义,则有\(a_{n_k}\geq a_{n_{k+1}}\),故数列\(\{a_{n_k}\}\)单调递减且下有界(\(\{a_n\}\)有界)。因此,根据单调有界原理,数列\(\{a_{n_k}\}\)极限存在。

若在任一项后,不存在最大的项,则取\(a_{n_1}=a_1\),由于不存在最大的项,因此\(\{a_n\}\)中必存在\(a_{n_2}>a_{n_1}\),以此类推,可得到\(a_{n_3},...a_{n_k},...\),从而可以得到一个单调递增的有界数列\(\{a_{n_k}\}\),由单调有界定理可知,数列\(\{a_{n_k}\}\)极限存在。

综上所述,在两种情况下,数列\(\{a_n\}\)中均存在收敛子列\(\{a_{n_k}\}\),致密性定理得证。

单调有界原理证明Cauchy收敛准则

证明必要性:

若数列\(\{a_n\}\)收敛且极限为\(a\),则\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得 \(m,n>M\)\[ |a_m-a|<\frac{\epsilon}{2},\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得: \[ |a_m-a_n|\leq|a_m-a|+|a_n-a|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性:

设数列\(\{a_n\}\)满足,对于\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得\(m,n>M\)时,\(|a_m-a_n|<\epsilon\)

首先证明数列\(\{a_n\}\)有界。取\(\epsilon=1\),则\(\exists N_0\),使得\(n>N_0\)时有\(|a_n-a_{N_0+1}|<1\),则\(\forall n>N_0,|a_n|\leq|a_{N_0+1}|+1\)。又因为数列的前\(N_0\)项为有限项,因此数列\(\{a_n\}\)有界。

不妨设\(a_n\in[a,b]\),采用如下过程构造子列\(\{a_{n_k}\}\)

  1. \([a,b]\)中取\(a_{n_1}\in \{a_n\}\)使得\((a_{n_1},b]\)中含数列\(\{a_n\}\)中无穷多项
  2. \((a_{n_k},b]\)中取\(a_{n_{k+1}}\)使得\(n_{k+1}>n_k\)\((a_{k+1},b]\)中含数列\(\{a_n\}\)中无穷多项,则\(a_{n_k}<a_{n_{k+1}}\)

重复步骤2即可得到\(\{a_n\}\)的单调递增子列\(\{a_{n_k}\}\)。由单调有界原理可知,数列\(\{a_{n_k}\}\)极限存在记\(\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n_k}=a\)

然后证数列\(\{a_n\}\)的极限为\(a\),由极限的定义和柯西列的定义可知,\(\forall \epsilon\),存在\(M_1,M_2\in N\),使得: \[ n_k>M_1\ 时,\ |a_{n_k}-a|<\frac\epsilon2\\ n,n_k>M_2\ 时,\ |a_n-a_{n_k}|<\frac\epsilon2 \]\(n,n_k>\max(M_1,M_2)\)时,有\(|a_n-a|<|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\epsilon\),数列\(\{a_n\}\)收敛到\(a\)

单调有界原理证明有限覆盖定理

设有理数\(r\in (a,b]\)使得区间\([a,r]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,将这样的\(r\)排成一个数列记为\(\{r_n\}\)。由于存在开区间\((\alpha,\beta)\in H\)使得\(a\in (\alpha,\beta)\),取\(r_n>a且r_n\in(\alpha,\beta)\),则这样的区间一定可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,故数列\(\{r_n\}\)存在。

\(x_n=\max(r_1,r_2,...,r_n)\),则数列\(\{x_n\}\)单调递增,又\(\forall n,r_n\leq b\),故\(x_n\leq b\)。由单调有界原理可知,数列\(\{x_n\}\)极限存在记\(\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n\),且\(r_n\leq x_n\leq \xi\)

由于\(x_n\in [a,b]\),即\(b\)为数列\(\{x_n\}\)的一个上界,则\(\xi\leq b\),又\(a\leq x_n\leq \xi\),则有\(a\leq \xi\leq b\),即\(\xi \in [a,b]\),故\(\xi\)一定存在于\(H\)中的某个开区间\((\alpha_1,\beta_1)\)中,再由极限的定义可知,存在\(r_N\in \{r_n\}\)使得\(\alpha_1<r_N\leq\xi\)

由数列\(\{r_n\}\)的定义可知,\([a,r_N]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,那么给这个开区间覆盖添加开区间\((\alpha_1,\beta_1)\)即可以覆盖闭区间\([a,\xi]\),因此,闭区间\([a,\xi]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖。

现证\(\xi=b\),采用反正法,假设\(\xi \neq b\),则\(a<\xi<b\)。则一定存在有理数\(r'\)使得\(\xi<r'<\min(b,\beta_1)\),则区间\([a,r']\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,故\(r'\in \{r_n\}\)\(r'\leq \xi\),与\(\xi<r'\)矛盾,故假设不成立,因此,\(\xi=b\)。综上,即可得出结论,闭区间\([a,b]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖。

闭区间套定理证明其余定理

闭区间套定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界(下确界同理可证)。

设集合\(S\)有上界,设一数\(\xi\)为集合\(S\)的上确界,则\(\xi\)满足:

  1. 大于\(\xi\)的点均不在\(S\)
  2. \(\xi\)的任意小邻域中存在集合\(S\)的点

如果\(\xi\)落在闭区间\([a,b]\)中的充要条件为:

  1. 任何大于\(b\)的点均不在\(S\)
  2. \([a,b]\)中至少包含一个\(S\)中的点

\([a,b]\)区间进行等分为两个区间,则两个子区间中必有一个区间\([a_1,b_1]\)符合上述条件。即\(\xi\)在区间\([a_1,b_1]\)中。重复以上等分的过程,即可得到一系列闭区间满足: \[ [a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset... \] 并且有 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1{2^n}(b-a)=0 \] \(\xi\)属于上述所有\([a_n,b_n]\),由区间套定理可得,存为唯一\(\xi\)使得 \(a_n\leq \xi\leq b_n\)。并且 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\xi \]

\(\forall x\in S\),都有\(x\leq b_n\),则\(x\leq\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\xi\)

\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(a_M>\xi-\epsilon\),又区间\([a_n,b_n]\)中至少包含一个\(S\)中的点,则\(\exists x\in S\cap[a_M,b_M]\)使得\(x\geq a_M>\xi-\epsilon\)。从而,\(\xi\)是集合\(S\)的上确界,\(S\)的上确界存在,确界定理得证。

闭区间套定理证明单调有界原理

设数列\(\{x_n\}\)单调上有界(单调下有界证明类似),则任取其上界记为\(b\),在\(\{x_n\}\)中任取一项作为\(a\),则区间\([a,b]\)中必含有数列\(\{x_n\}\)中无穷多项。

将区间\([a,b]\)进行二等分,得到区间\([a,\frac{a+b}2]\)和区间\([\frac{a+b}2,b]\),由于数列\(\{x_n\}\)单调递增,则两个子区间中有且仅有一个区间包含数列\(\{x_n\}\)中无穷多项,记该区间为\([a_1,b_1]\)

重复以上过程得到一系列闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\),由区间套定理可知,存在唯一实数\(\xi\)使得\(\xi \in [a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

然后证明\(\xi=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n\),由于\(\lim_{n\rightarrow +\infty}(b_n-a_n)=\),则\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M_1\in N\)使得\(n>M_1\)时,\(|a_n-b_n|<\epsilon\),由区间\([a_n,b_n]\)的构造性质可得,\([a_n,b_n]\)中含数列\(\{x_n\}\)中无穷多项,则\(\exists M_2\in N\)使得\(n>M_2\)时,\(x_n\in [a_n,b_n]\),又由于\(a_n\leq \xi\leq b_n\),取\(M=\max(M_1,M_2)\),则当\(n>M\)时,\(|x_n-\xi|\leq|a_n-b_n|<\epsilon\),故\(\xi\)为数列\(\{x_n\}\)的极限。

闭区间套定理证明聚点定理

数列\(\{x_n\}\)有界,取\(a,b\)使得\(a\leq x_n\leq b\),则闭区间\([a,b]\)中包含了数列\(\{x_n\}\)中无穷多项。

将闭区间\([a,b]\)等分为两个子闭区间,则两个闭区间中至少有一个包含\(\{x_n\}\)中无穷多项,记为\([a_1,b_1]\),重复以上过程得到一系列闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

由区间套定理可知,存在唯一\(\xi\)使得\(\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...\),即 \[ \lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\xi \] 则,\(\exists n_1\),使得\(\xi-1<a_{n_1}\leq \xi\leq b_{n_1}<\xi+1\),由于\([a_{n_1},b_{n_1}]\)中含有数列\(\{x_n\}\)中无穷多项,因此任取\(x_{n_1}\in \{x_n\}\cap [a_{n_1},b_{n_1}]\)

同理,\(\forall k=1,2,3,...\)\(\exists n_k\)使得\(\xi-\frac1k<a_{n_k}\leq \xi\leq b_{n_k}<\xi+\frac1k\),取\(x_{n_k}\in \{x_n\}\cap [a_{n_k},b_{n_k}]\)。由此构造出数列\(\{x_{n_k}\}\)

\(\{x_{n_k}\}\)的构造过程可知,\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M=\lceil\frac1\epsilon\rceil\)使得\(k>M\)时,\(|x_{n_k}-\xi|<\epsilon\),故\(\xi\)是数列\(\{x_{n_k}\}\)的极限。

因此,有界无限数列存在收敛子列,致密性定理得证。

闭区间套定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性:

若数列\(\{x_n\}\)收敛且极限为\(x\),则\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得 \(m,n>M\)\[ |x_m-x|<\frac{\epsilon}{2},\ |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得: \[ |x_m-x_n|\leq|x_m-x|+|x_n-x|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性:

设数列\(\{x_n\}\)满足,对于\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得\(n>M\)时,\(|x_n-x_M|<\epsilon\)。即\(x_n\in[x_M-\epsilon,x_M+\epsilon]\)

\(\epsilon=\frac12\),则\(\exists M_1\in N\)使得\(n>M_1\)时,\(x_n\in [x_{M_1}-\epsilon,x_{M_1}+\epsilon]\),记该区间为\([a_1,b_1]\)

\(\epsilon=\frac1{2^2}\),则\(\exists M_2\in N\)使得\(n>M_2\)时,\(x_n\in [x_{M_2}-\epsilon,x_{M_2}+\epsilon]\),记该区间为\([a_2,b_2]\)

\(\epsilon=\frac1{2^3}\),则\(\exists M_3\in N\)使得\(n>M_3\)时,\(x_n\in [x_{M_3}-\epsilon,x_{M_3}+\epsilon]\),记该区间为\([a_3,b_3]\)

以此类推,便能得到一系列闭区间\([a_n,b_n]\)\([a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]\)。由闭区间套定理可知,存在唯一\(\xi \in[a_n,b_n],n=1,2,3,...\),从而,\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(n>M\)时,\(x_n\)均属于某个闭区间\([a_n,b_n]\)\(|b_n-a_n|< \epsilon\),则\(|x_n-\xi|<\epsilon\),因此\(x_n\rightarrow \xi(n\rightarrow +\infty)\)

闭区间套定理证明有限覆盖定理

证明闭区间\([a,b]\)的任意开覆盖\(H\)都有有限子覆盖

采用反证法。假设闭区间\([a,b]\)不能被\(H\)中有限个开区间覆盖,则对\([a,b]\)进行等分,则两个子区间中至少存在一个闭区间不能被\(H\)中有限个开区间覆盖(否则与\([a,b]\)不能被\(H\)中有限个开区间覆盖矛盾),记该区间为\([a_1,b_1]\)。以此类推得到一系列闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\),并且每个闭区间\([a_n,b_n]\)都无法被\(H\)中有限个开区间覆盖。

由闭区间套定理可知,\(\exists\xi\)使得\(\xi\in [a_n,b_n],n=1,2,3...\),则\(H\)中存在开覆盖\((\alpha,\beta)\)使得\(\xi\in(\alpha,\beta)\),设\(\epsilon=\min(|\alpha-\xi|,|\beta-\epsilon|)\),由于\(\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=0\),则\(\exists M\in N\),使得\(n>M\)后都有\(|b_n-a_n|<\epsilon\),又\(\xi\in [a_n,b_n]\),则\([a_n,b_n]\subset (\alpha,\beta)\),即区间\([a_n,b_n]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,与闭区间\([a_n,b_n]\)都无法被\(H\)中有限个开区间覆盖相矛盾,故假设不成立,有限覆盖定理得证。

聚点定理证明其余定理

聚点定理证明确界原理

证明非空有上界集合必有上确界(下确界同理可证)。

设集合\(S\)有上界,则任取其上界记为\(b\),取\(a\in S\)构造区间\([a,b]\)中至少含有集合\(S\)中一项。定义性质\(P\):区间中至少含有集合\(S\)中一项且区间的右端点必为\(S\)的一个上界。则显然区间\([a,b]\)满足性质\(P\)

将区间\([a,b]\)进行二等分,得到区间\([a,\frac{a+b}2]\)和区间\([\frac{a+b}2,b]\),则两个子区间中至少有一个区间满足性质\(P\),记该区间为\([a_1,b_1]\)。重复以上过程得到一系列闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

从而有\(\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1{2^n}(b-a)=0\)

构造数列\(\{b_n\}\),显然数列\(\{b_n\}\)有无穷多项且有界(\(a\leq b_n\leq b\))。由聚点定理可知,\(\{b_n\}\)有聚点记作\(\xi\)。又因为数列\(\{b_n\}\)单调递减,则\(\forall \epsilon\)\(\exists M\in N\)使得\(b_n\in U(\xi,\epsilon)\),即\(\xi\)为数列\(\{b_n\}\)的极限。由\(\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)=0\)可得,数列\(\{a_n\}\)的极限也为\(\xi\)

由于\(\{b_n\}\)均为\(S\)的上界,因此\(\xi\)也为\(S\)的上界。又\(a_n\rightarrow \xi\)\([a_n,b_n]\cap S\neq\varnothing\),则\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(n>M\)时使得\(a_n\)\(\exists x\in S\)使得\(x\in [a_n,b_n]\)\(\xi-\epsilon<x\leq \xi\),故\(\xi\)为集合\(S\)的上确界。

聚点定理证明单调有界原理

任取单调有界数列\(\{a_n\}\),不妨设数列\(\{a_n\}\)单调递增(单调递减的证明类似)。则由致密性定理(聚点定理)可知,\(\{a_n\}\)中存在聚点记为\(a\)

根据聚点的定义,\(\forall \epsilon>0\),存在\(M\in N\)使得\(|a_M-a|<\epsilon\),假设存在\(n_1>M\)使得\(|a_{n_1}-a|>\epsilon\),则\(a_{n_1}>a+\epsilon\)\(a_{n_1}<a-\epsilon\),由数列单调性可知,后者显然不成立。

若前者成立,即\(a_{n_1}>a+\epsilon\),则根据单调性,任取\(n>n_1\)都有\(a_n>a+\epsilon\),则\(a\)\(\epsilon\)邻域中只含有限项,这与\(a\)\(\{a_n\}\)的聚点矛盾,故原假设不成立。因此,\(\forall \epsilon>0\),存在\(M\in N\)使得\(n>M\)时,\(|a_n-a|<\epsilon\),故数列\(\{a_n\}\)极限存在。

聚点定理证明闭区间套定理

\(\{[a_n,b_n]\}\)为一列闭区间套,令\(S=\{a_n\}\cup\{b_n\}\),则集合\(S\)有界无限,根据聚点定理,集合\(S\)存在聚点\(\xi\)。接着证明\(a_n\leq\xi\leq b_n\),采用反证法。

假设存在\(a_M\)使得\(b_n>a_M>\xi\),则由数列\(\{a_n\}\)的单调性可知,\(n>M\)时,\(a_n>a_M>\xi\)。取\(\epsilon=a_M-\xi\),则在\((\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)\)中,至多有有限\(S\)中的点,这与\(\xi\)\(S\)的聚点相矛盾,因此\(a_n\leq\xi\),同理可证\(\xi\leq b_n\)。从而有\(\xi\in[a_n,b_n],n=1,2,3,...\)

然后证明唯一性,采用反证法,假设存在\(\xi'\neq \xi\)\(\xi'\in [a_n,b_n]\),则\(|\xi'-\xi|\leq|a_n-b_n|\rightarrow0(n\rightarrow +\infty)\)。故\(\xi'=\xi\),从而证明唯一性。

聚点定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性:

若数列\(\{x_n\}\)收敛且极限为\(x\),则\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得 \(m,n>M\)\[ |x_m-x|<\frac{\epsilon}{2},\ |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得: \[ |x_m-x_n|\leq|x_m-x|+|x_n-x|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性:

设数列\(\{x_n\}\)满足,对于\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得\(m,n>M\)时,\(|x_m-x_n|<\epsilon\)

首先证明数列\(\{x_n\}\)有界。取\(\epsilon=1\),则\(\exists N_0\),使得\(n>N_0\)时有\(|x_n-x_{N_0+1}|<1\),则\(\forall n>N_0,|x_n|\leq|x_{N_0+1}|+1\)。又因为数列的前\(N_0\)项为有限项,因此数列\(\{x_n\}\)有界。

接着对\(\{x_n\}\)进行分类讨论:

\(\{x_n\}\)中含有有限个相异的项,那么必然会有一项出现无限多次记作\(x_{n_0}\),这时就可以得到\(\{x_n\}\)的一个子列\(\{x_{n_k}\}\)满足\(x_{n_k}=x_{n_0}\)\(n_{k+1}>n_k\)。又\(\{x_n\}\)为Cauchy列,故\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(m,n>M\)时,有\(|x_m-x_n|<\epsilon\)。特别的,当\(n>M,k>M\)时,有\(n_k\geq n>M\),则\(|x_n-x_{n_k}|<\epsilon\),即\(|x_n-x_{n_0}|<\epsilon|\),因此,\(\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=x_{n_0}\)

\(\{x_n\}\)含有无穷多相异的项,则数集\(S=\{x_n\}\)为有界无限点集,根据聚点定理,\(S\)中至少有一聚点\(\xi\),根据聚点的定义\(\forall k\),在\(U(\xi,\frac1k)\)中必包含\(\{x_n\}\)中无穷多项,从而在\(U(\xi,\frac1k),k=1,2,3,...\)中可任选出\(x_{n_k}\)组成子列\(\{x_{n_k}\}\),则\(x_{n_k}\rightarrow\xi(k\rightarrow +\infty)\),同上一部分的证明可知,\(x_n\rightarrow\xi(n\rightarrow+\infty)\)

聚点定理证明有限覆盖定理

证明闭区间\([a,b]\)的任意开覆盖\(H\)都有有限子覆盖

采用反证法。假设闭区间\([a,b]\)不能被\(H\)中有限个开区间覆盖,则对\([a,b]\)进行等分,则两个子区间中至少存在一个闭区间不能被\(H\)中有限个开区间覆盖(否则与\([a,b]\)不能被\(H\)中有限个开区间覆盖矛盾),记该区间为\([a_1,b_1]\)。以此类推得到一系列闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\),并且每个闭区间\([a_n,b_n]\)都无法被\(H\)中有限个开区间覆盖。

\(S=\{a_n\}\cup\{b_n\}\),则集合\(S\)有界无限,根据聚点定理,集合\(S\)存在聚点\(\xi\)。接着证明\(a_n\leq\xi\leq b_n\),采用反证法。

假设存在\(a_M\)使得\(b_n>a_M>\xi\),则由数列\(\{a_n\}\)的单调性可知,\(n>M\)时,\(a_n>a_M>\xi\)。取\(\epsilon=a_M-\xi\),则在\((\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)\)中,至多有有限\(S\)中的点,这与\(\xi\)\(S\)的聚点相矛盾,因此\(a_n\leq\xi\),同理可证\(\xi\leq b_n\)。从而\(a_n\leq\xi\leq b_n,n=1,2,3,...\)

\([a_n,b_n]\subset[a,b]\),故\(\xi\in [a,b]\),因此\(\xi\)必然属于\(H\)中的某个开区间\((\alpha,\beta)\)\(\epsilon=\min(|\alpha-\xi|,|\beta-\epsilon|)\),由于\(\lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n)\),则\(\exists M\in N\),使得\(n>M\)后都有\(|b_n-a_n|<\epsilon\),又\(\xi\in [a_n,b_n]\),则\([a_n,b_n]\subset (\alpha,\beta)\),即区间\([a_n,b_n]\)可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,与闭区间\([a_n,b_n]\)都无法被\(H\)中有限个开区间覆盖相矛盾,故假设不成立,有限覆盖定理得证。

Cauchy收敛准则证明其余定理

Cauchy收敛准则证明确界原理

\(S\)为非空有上界数集(非空有下界证明类似),由实数的阿基米德性,对于任意实数\(a\),存在整数\(K_a\)使得\(\lambda_a=K_aa\)为数集\(S\)的上界,而\(\lambda_a-a=(K_a-1)a\)不为数集\(S\)的上界。即\(\exists x_0\in S\)使得\(x_0>\lambda_a-a\)

\(a=\frac1n,n=1,2,3,...\),则对于每个正整数\(n\),都存在对应的\(\lambda_n\)使得\(\lambda_n\)为数集的上界,而\(\exists x_0\in S\),使得\(x_0>\lambda_n-\frac1n\)

对于实数\(m\)则有\(\lambda_m\)为数集\(S\)的上界,故\(\lambda_m\geq x_0> \lambda_n-\frac1n\),则\(\lambda_n-\lambda_m<\frac1n\)。同理可得,\(\lambda_m-\lambda_n<\frac1m\)。从而\(|\lambda_m-\lambda_n|<\max(\frac1n,\frac1m)\)

于是,$>0 \(,\)MN\(使得\)m,n>N\(时,\)|_m-_n|<\(。故数列\){_n}\(为柯西列,极限存在记为\)$。

然后证明\(\lambda\)为数集\(S\)的上确界。首先,\(\forall n,\forall a\in S,a\leq \lambda_n\),又\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\lambda_n=\lambda\),故\(a\leq \lambda\)\(\lambda\)为数集\(S\)的一个上界。又\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(n>M\)时,\(\lambda-\lambda_n<\frac\epsilon2\)\(\frac1n<\frac\epsilon2\),则 \[ \lambda-\epsilon<\lambda_n-\frac\epsilon2<\lambda_n-\frac1n \]\(\forall n,\exists x_0\in S\)使得\(x_0>\lambda_n-\frac1n\),故\(x_0>\lambda-\epsilon\),因此\(\lambda\)为数集\(S\)的上确界。

Cauchy收敛准则证明单调有界原理

设数列\(\{x_n\}\)为单调增有上界,采用反证法,假设数列\(\{x_n\}\)极限不存在,则根据Cauchy收敛准则,\(\exists \epsilon_0\),使得\(\forall M\in N\)\(\exists m>n>M\)使得\(x_m-x_n>\epsilon_0\)。任取\(M\),则可以得到数列\(\{x_n\}\)的一个子列\(\{x_{n_k}\}\)使得\(x_{n_{k+1}}>x_{n_k}+\epsilon_0>...>x_{n_1}+k\epsilon_0\),则\(x_{n_k}\rightarrow+\infty(k\rightarrow+\infty)\),故数列\(\{x_n\}\)无解,与\(\{x_n\}\)上有界矛盾,故假设不成立,数列\(\{x_n\}\)极限存在。

Cauchy收敛准则证明闭区间套定理

\(\{[a_n,b_n]\}\)为一列闭区间套,则由\((b_n-a_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)\)可知,\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(n>M\)时,\(|b_n-a_n|<\epsilon\)

由于数列\(\{a_n\}\)单调递增,数列\(\{b_n\}\)单调递减,且\(b_n>a_n\),故对于\(\forall m>n>M\)都有 \[ a_n\leq a_m\leq b_m\leq b_n \]\(|a_m-a_n|\leq|b_n-a_n|<\epsilon\)\(|b_m-b_n|\leq|b_n-a_n|<\epsilon\)

由Cauchy收敛准则可知,数列\(\{a_n\}\)\(\{b_n\}\)极限存在,又\((b_n-a_n)\rightarrow0(n\rightarrow+\infty)\),则 \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=\xi \] 接着证明\(a_n\leq\xi\leq b_n\),采用反证法。

假设存在\(a_M\)使得\(a_M>\xi\),则由数列\(\{a_n\}\)的单调性可知,\(n>M\)时,\(a_n>a_M>\xi\)。因此\(|a_n-\xi|=a_n-\xi>0\),两侧取极限得$$

然后证明唯一性,采用反证法,假设存在\(\xi'\neq \xi\)\(\xi'\in [a_n,b_n]\),则\(|\xi'-\xi|\leq|a_n-b_n|\rightarrow0(n\rightarrow +\infty)\)。故\(\xi'=\xi\),从而证明唯一性。

Cauchy收敛准则证明聚点定理

\(S\)为有界无限点集

\(a\)\(S\)的一个下界,则对于任意自然数\(n\),存在自然数\(k_n\)使得\(x_n=a+\frac{k_n}n\)满足以下性质:

  1. \((x_n,+\infty)\)中至多包含\(S\)中有限个点
  2. \((x_n-\frac1n,+\infty)\)中包含\(S\)中无限个点

则对于任意自然数\(m,n\),都有\(x_n-\frac1n<x_m\),否则若\(x_m\leq x_n-\frac1n\),则\((x_m,+\infty)\)中含有\(S\)中无限个点,与上述性质矛盾。因此\(|x_m-x_n|<\max(\frac1n,\frac1m)\),则\(\{x_n\}\)为柯西列,极限存在记为\(\xi\)\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}(x_n-\frac1n)=\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n-\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac1n=\xi \] 因此,对于\(\forall \epsilon>0\)\(\exists M\in N\)使得\(n>M\)时,\(x_n,x_n-\frac1n\in (\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)\)。则\((x_n-\frac1n,+\infty)\subset (\xi-\epsilon,+\infty)\)\((\xi+\epsilon,+\infty)\subset (x_n,+\infty)\)。因此\((\xi-\epsilon)\)中含有\(S\)中无限个点,\((\xi+\epsilon,+\infty)\)中至多含有\(S\)中有限个点,从而\((\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)\)中含有\(S\)中无限个点,故\(\xi\)\(S\)的聚点,故聚点定理得证。

Cauchy收敛准则证明有限覆盖定理

证明闭区间\([a,b]\)的任意开覆盖\(H\)都有有限子覆盖。

设性质\(P\):闭区间可以被\(H\)中有限个开区间覆盖,性质\(P^{-1}\):闭区间不能被\(H\)中有限个开区间覆盖。

采用反证法,假设\([a,b]\)不能被\(H\)中有限个开区间覆盖,则\(\exists x_1\in [a,b]\)使得\([x_1-1,x_1+1]\cap[a,b]=[a_1,b_1]\)具有性质\(P^{-1}\),否则\([a,b]\)具有性质\(P\)

同理,\(\exists x_2\in [a_1,b_1]\)使得\([x_2-\frac12,x_2+\frac12]\)具有性质\(P^{-1}\),重复以上过程即可得到数列\(\{x_n\}\),使得\([a_n,b_n]=[x_n-\frac1n,x_n+\frac1n]\cap[a,b]\)具有性质\(P^{-1}\)。并且对于\(\forall m,n\),有\(|x_m-x_n|\leq \max(\frac1m,\frac1n)\)。因此,数列\(\{x_n\}\)为Cauchy列,极限存在记为\(\xi\)

显然,\(\xi \in [a,b]\),则存在开区间\((\alpha,\beta)\in H\)使得\(\xi\in(\alpha,\beta)\),又\(x_n\rightarrow\xi(n\rightarrow +\infty)\),则\(\exists M\in N\)使得\([x_M-\frac1M,x_M+\frac1M]\subset (\alpha,\beta)\),这与\([x_M-\frac1M,x_M+\frac1M]\)具有性质\(P^{-1}\)相矛盾,故假设不成立,有限覆盖定理得证。

有限覆盖定理证明其余定理

有限覆盖定理证明确界原理

\(S\)为非空上有界数集(非空下有界的证明类似),若\(S\)中存在最大值,则易证上确界为最大值。若\(S\)中无最大值,采用反证法,假设\(\xi=\sup S\)不存在,设\(a\)\(S\)中任意一点,\(b\)\(S\)的任意一个上界。下面作区间\([a,b]\)的无限开覆盖,对任意\(x\in [a,b]\),存在以下三种情形:

  1. \(x\in S\),由于\(S\)中没有最大值,则存在\(x_1>x\),取\(\delta=x_1-x\)得到\(x\)的邻域\((x-\delta,x+\delta)\)
  2. \(x\notin S\)\(x\)不是\(S\)的上界,则同样存在\(x_1>x\),取\(\delta=x_1-x\)得到\(x\)的邻域\((x-\delta,x+\delta)\)
  3. \(x\)\(S\)的上界,由于\(S\)没有上确界,则存在\(\delta\)使得\((x-\delta,x+\delta)\)中不存在\(S\)中任何一点。

上述所有的开区间组成闭区间\([a,b]\)的一个无限开覆盖: \[ H=\{(x-\delta_x,x+\delta_x)|x\in[a,b]\} \] 由有限覆盖定理可得,\([a,b]\)存在一个有限开覆盖\(H_1\)\[ H_1=\{(x_k-\delta_k,x_k+\delta_k)|x_k\in [a,b],k=1,2,3,...\} \] 设满足情形3的开区间为第一类开区间,否则为第二类开区间。显然,\(a\)在第二类开区间中,\(b\)在第一类开区间中,若\(H_1\)可以有限覆盖\([a,b]\),则第一类开区间和第二类开区间之间必有交集,而根据两类开区间的定义,第一类开区间和第二类开区间之间不存在交集,故假设不成立,\(S\)的上确界\(\xi=\sup S\)存在。故确界定理得证。

有限覆盖定理证明单调有界原理

设数列\(\{x_n\}\)单调增上有界(单调减下有界的证明类似),若\(\{x_n\}\)中存在最大值,则易证数列\(\{x_n\}\)极限存在。若\(\{x_n\}\)中无最大值,采用反证法,假设数列\(\{x_n\}\)极限不存在。取\(\{x_n\}\)二的任意上界\(M\)和任意自然数\(n_0\),则显然\(x_{n_0}<M\),下面作闭区间\([x_{n_0},M]\)的无限开覆盖,设\(x\in [x_{n_0},M]\),则存在以下三种情形:

  1. \(x=x_{n_1}\),由于\(\{x_n\}\)中没有最大值,则可以找到\(x_{n_2}>x_{n_1}\),取\(\delta=x_{n_2}-x_{n_1}\),得到\(x\)的邻域\((x-\delta, x+\delta)\)
  2. \(x\notin \{x_n\}\)\(x\)不是\(\{x_n\}\)的上界,则同样存在\(x_{n_2}>x\),取\(\delta=x_{n_2}-x\),得到\(x\)的邻域\((x-\delta,x+\delta)\)
  3. \(x\)\(\{x_n\}\)的上界,由于\(\{x_n\}\)的极限不存在,故一定存在\(\delta\)使得\((x-\delta,x+\delta)\)中不含任何\(\{x_n\}\)中的项。

上述的所有开区间组成闭区间\([x_{n_0},M]\)的一个开覆盖\(H\)。由有限覆盖定理可知,存在一个有限开覆盖\(H_1\)可以覆盖区间\([x_{n_0},M]\),即\(H_1=\{(x_i-\delta_i,x_i+\delta_i)|i=1,2,3,...\}\)

可以将这些开区间分为两类,第一类满足上述情形3,第二类不满足。则显然\(M\)在第一类的开区间中,\(x_{n_0}\)在第二类的开区间中。若这些开区间可以将闭区间\([x_{n_0},M]\)有限覆盖,则第一类开区间和第二类开区间必然存在交集。而显然,第一类开区间与第二类开区间之间不存在交集。因此假设不成立,数列\(\{x_n\}\)极限存在。

有限覆盖定理证明闭区间套定理

\(\{[a_n,b_n]\}\)为一列闭区间套。采用反证法,假设闭区间\([a_n,b_n],n=1,2,3,...\)中不存在公共点\(\xi\),从而,\(\forall x \in [a_1,b_1]\),总存在\(\delta_x\)使得\((x-\delta_x,x+\delta_x)\)不与所有的\([a_n,b_n]\)相交,即存在\([a_{n_x},b_{n_x}]\)使得\((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap[a_{n_x},b_{n_x}]=\varnothing\)。则这些\(x\)的邻域构成区间\([a_1,b_1]\)中的一个开覆盖记作: \[ H=\{(x-\delta_x,x+\delta_x)|x\in [a_1,b_1]\} \] 由有限覆盖定理可知,\(H\)中存在\([a_1,b_1]\)的一个有限子覆盖记为: \[ H_1=\{(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})|x_k\in [a_1,b_1],k=1,2,3,...\} \] 相应的,\((x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})\cap[a_{n_k},b_{n_k}]=\varnothing\)。根据区间套的条件,在\([a_{n_k},b_{n_k}]\)中找到最小的一个闭区间记作\([a_{n_0},b_{n_0}]\)。则\([a_{n_0},b_{n_0}]\cap(x_k-\delta_{x_k},x_k+\delta_{x_k})=\varnothing, k=1,2,3,...\),这与\([a_{n_0},b_{n_0}]\subset [a_1,b_1]\)矛盾,故假设不成立,闭区间套定理得证。

有限覆盖定理证明聚点定理

\(S\)为有界无穷点集,则存在\(M\),使得\(S\subset [-M,+M]\)。由于闭区间的聚点都包含在闭区间中,故若\(S\)存在聚点,则一定包含在\([-M,+M]\)中。

采用反证法,假设\(S\)无聚点,即\([-M,+M]\)中任意一点都不是\(S\)的聚点,则对于\(\forall x\in [-M,+M]\),存在相应的\(\delta_x\)使得\(U(x,\delta_x)\)中至多含有限个\(S\)中的点。这些\(x\)的邻域形成区间\([-M,+M]\)的一个无限开覆盖: \[ H=\{U(x,\delta_x)|x\in [-M,+M]\} \] 由有限覆盖定理可知,\(H\)中存在\([-M,+M]\)的一个有限子覆盖记为: \[ H_1=\{U(x_i,\delta_{x_i}|x_i\in [-M,+M],i=1,2,3,...\} \] 则在\(H_1\)中,至多含有限个\(S\)中的点,这与\(\cup H_1\supset [-M,+M]\supset S\)矛盾,故假设不成立,聚点定理得证。

有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则

证明必要性:

若数列\(\{x_n\}\)收敛且极限为\(x\),则\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得 \(m,n>M\)\[ |x_m-x|<\frac{\epsilon}{2},\ |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2} \] 由三角不等式可得: \[ |x_m-x_n|\leq|x_m-x|+|x_n-x|<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon \] 必要性证明完毕。

证明充分性:

设数列\(\{x_n\}\)满足,对于\(\forall \epsilon>0,\exists M\in N\),使得\(m,n>M\)时,\(|x_m-x_n|<\epsilon\)

首先证明数列\(\{x_n\}\)有界。取\(\epsilon=1\),则\(\exists N_0\),使得\(n>N_0\)时有\(|x_n-x_{N_0+1}|<1\),则\(\forall n>N_0,|x_n|\leq|x_{N_0+1}|+1\)。又因为数列的前\(N_0\)项为有限项,因此数列\(\{x_n\}\)有界。则存在闭区间\([a,b]\)使得\(x_n\in [a,b]\)

采用反证法,假设数列\(\{x_n\}\)不收敛。则\(\forall x\in [a,b]\)\(\exists U(x,\delta)\)中至多含有\(\{x_n\}\)有限多项(否则易证\(x\)\(\{x_n\}\)的极限)。

\([a,b]\)的一个开覆盖为\(H=\{U(x,\delta)|x\in [a,b]\}\),则该开覆盖存在有限子覆盖\(H_1=\{U(x_i,\delta_i)|x\in[a,b],i=1,2,3,...\}\)。因此,\(H_1\)中至多含有限项\(\{x_n\}\)中的项,这与\(\cup H_1\supset [a,b]\supset \{x_n\}\)矛盾,故假设不成立,Cauchy列收敛。